Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 161
2014-06-07 
Доказать, что для любых чисел $n,k \in \mathbf{N}$, больших 1, справедливо неравенство
$\sum_{j=2}^{n^{k}} \frac{1}{j} > k \sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j}$
Решение:
Преобразуем левую часть неравенства к виду
$\sum_{j=2}^{n^{k}} = \left ( \frac{1}{1+1} + \cdots + \frac{1}{n} \right ) + \left ( \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n^{2}} \right ) + \cdots$
$\cdots + \left ( \frac{1}{n^{k-1} + 1}+ \cdots + \frac{1}{n^{k}} \right ) = \sum_{i=1}^{k} \left ( \frac{1}{n^{i-1} + 1} + \cdots + \frac{1}{n^{i}} \right )$
и заметим, что дли любого $i \in \mathbf{N}$ выполнены соотношения
$\frac{1}{n^{i-1}+1} + \cdots + \frac{1}{n^{i}} = \left ( \frac{1}{1 \cdot n^{i-1} + 1} + \cdots + \frac{1}{2n^{i-1}} \right ) +$
$+ \left ( \frac{1}{2n^{i-1} + 1} + \cdots + \frac{1}{3n^{i-1}} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{(n-1)n^{i-1}+1} + \cdots + \frac{1}{n \cdot n^{i-1}} \right ) =$
$= \sum_{m=2}^{n} \left ( \frac{1}{(m-1)n^{i-1} + 1} + \cdots + \frac{1}{mn^{i-1}} \right ) > \sum_{m=2}^{n} \left ( n^{i-1} \frac{1}{mn^{i-1}} \right ) = \sum_{m=2}^{n} \frac{1}{m}$.
Отсюда следует требуемое неравенство
$\sum_{j=2}^{n^{k}} \frac{1}{j} > \sum_{i=1}^{k} \left ( \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \right ) = k \sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j}$.
Доказать, что для любых чисел $n,k \in \mathbf{N}$, больших 1, справедливо неравенство
$\sum_{j=2}^{n^{k}} \frac{1}{j} > k \sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j}$
Решение:
Преобразуем левую часть неравенства к виду
$\sum_{j=2}^{n^{k}} = \left ( \frac{1}{1+1} + \cdots + \frac{1}{n} \right ) + \left ( \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{n^{2}} \right ) + \cdots$
$\cdots + \left ( \frac{1}{n^{k-1} + 1}+ \cdots + \frac{1}{n^{k}} \right ) = \sum_{i=1}^{k} \left ( \frac{1}{n^{i-1} + 1} + \cdots + \frac{1}{n^{i}} \right )$
и заметим, что дли любого $i \in \mathbf{N}$ выполнены соотношения
$\frac{1}{n^{i-1}+1} + \cdots + \frac{1}{n^{i}} = \left ( \frac{1}{1 \cdot n^{i-1} + 1} + \cdots + \frac{1}{2n^{i-1}} \right ) +$
$+ \left ( \frac{1}{2n^{i-1} + 1} + \cdots + \frac{1}{3n^{i-1}} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{(n-1)n^{i-1}+1} + \cdots + \frac{1}{n \cdot n^{i-1}} \right ) =$
$= \sum_{m=2}^{n} \left ( \frac{1}{(m-1)n^{i-1} + 1} + \cdots + \frac{1}{mn^{i-1}} \right ) > \sum_{m=2}^{n} \left ( n^{i-1} \frac{1}{mn^{i-1}} \right ) = \sum_{m=2}^{n} \frac{1}{m}$.
Отсюда следует требуемое неравенство
$\sum_{j=2}^{n^{k}} \frac{1}{j} > \sum_{i=1}^{k} \left ( \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \right ) = k \sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j}$.
