Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1609
2019-01-19 
Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.
Решение:
Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник $ABCDE$, удовлетворяющий условиям задачи. Не умаляя общности, можно считать, что угол $A$ - наибольший, а угол $D$ - наименьший (любую пару несмежных вершин можно перевести в эту переобозначениями).
Заметим, что $\angle EAC = \angle A - \angle BAC = \angle A - \angle ACB > \angle C - \angle BCA = \angle ACD$.
Предположим, что лучи $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $X$. Тогда в треугольнике $ACX$ сторона $CX$ больше стороны $AX$, так как против нее лежит больший угол. Тогда $DX = CX - CD = CX - AE > AX - AE = EX$, поэтому $180^{\circ} - \angle E > 180^{\circ} -\angle D$, что противоречит минимальности угла $D$.
Случай, когда прямые $AE$ и $CD$ пересекаются с другой стороны от $ED$, аналогичен. В случае $AE \parallel CD$ легко прийти к противоречию следующим образом. Заметим, что $ACDE$ - ромб, $AABC$ - равносторонний, и тогда $\angle D < \angle E \Rightarrow \angle A = 60^{\circ} + D < \angle C = 60^{\circ} + \angle E$.
Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.
Решение:
Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник $ABCDE$, удовлетворяющий условиям задачи. Не умаляя общности, можно считать, что угол $A$ - наибольший, а угол $D$ - наименьший (любую пару несмежных вершин можно перевести в эту переобозначениями).
Заметим, что $\angle EAC = \angle A - \angle BAC = \angle A - \angle ACB > \angle C - \angle BCA = \angle ACD$.
Предположим, что лучи $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $X$. Тогда в треугольнике $ACX$ сторона $CX$ больше стороны $AX$, так как против нее лежит больший угол. Тогда $DX = CX - CD = CX - AE > AX - AE = EX$, поэтому $180^{\circ} - \angle E > 180^{\circ} -\angle D$, что противоречит минимальности угла $D$.
Случай, когда прямые $AE$ и $CD$ пересекаются с другой стороны от $ED$, аналогичен. В случае $AE \parallel CD$ легко прийти к противоречию следующим образом. Заметим, что $ACDE$ - ромб, $AABC$ - равносторонний, и тогда $\angle D < \angle E \Rightarrow \angle A = 60^{\circ} + D < \angle C = 60^{\circ} + \angle E$.
