Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1603
2019-01-19 
Для неотрицательных чисел $x$ и $y$, не превосходящих 1, докажите, что $ \frac {1}{ \sqrt {1+x^2}}+ \frac {1}{ \sqrt {1+y^2}} \leq \frac {2}{ \sqrt {1+xy}}$.
Решение:
Возведем доказываемое неравенство в квадрат, получим
$\frac {1}{1+x^2} + \frac {2}{ \sqrt {1 + x^2} \cdot \sqrt {1 + y^2}} + \frac {1}{1 + y^2} \leq \frac {4}{1 + xy}$
Сначала покажем, что
$\frac {1}{1+x^2} + \frac {1}{1+y^2} \leq \frac {2}{1 + xy}$.
Действительно, после приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок имеем
$2(1 + х^2 + у^2 + х^2у^2) - (1 + у^2 + xy + xy^3) - (1 + x^2 + xy + x^3y) = (1 - xy){(x - y)}^2 \geq 0$.
Далее по неравенству о средних для двух чисел получим
$\frac {2}{ \sqrt {1 + x^2} \cdot \sqrt {1 + y^2}} \leq \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} \leq \frac{2}{1 + xy}$.
Для завершения доказательства осталось сложить полученные неравенства.
Для неотрицательных чисел $x$ и $y$, не превосходящих 1, докажите, что $ \frac {1}{ \sqrt {1+x^2}}+ \frac {1}{ \sqrt {1+y^2}} \leq \frac {2}{ \sqrt {1+xy}}$.
Решение:
Возведем доказываемое неравенство в квадрат, получим
$\frac {1}{1+x^2} + \frac {2}{ \sqrt {1 + x^2} \cdot \sqrt {1 + y^2}} + \frac {1}{1 + y^2} \leq \frac {4}{1 + xy}$
Сначала покажем, что
$\frac {1}{1+x^2} + \frac {1}{1+y^2} \leq \frac {2}{1 + xy}$.
Действительно, после приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок имеем
$2(1 + х^2 + у^2 + х^2у^2) - (1 + у^2 + xy + xy^3) - (1 + x^2 + xy + x^3y) = (1 - xy){(x - y)}^2 \geq 0$.
Далее по неравенству о средних для двух чисел получим
$\frac {2}{ \sqrt {1 + x^2} \cdot \sqrt {1 + y^2}} \leq \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} \leq \frac{2}{1 + xy}$.
Для завершения доказательства осталось сложить полученные неравенства.
