Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1600
2019-01-19 
Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа $а_1,а_2,\cdots, а_10$, что уравнение
$(x - а_1)(x - а_2) \cdots (x - а_{10}) = (x + а_1)(x + а_2) \cdot \cdots \cdot (x + а_{10})$
будет иметь ровно 5 различных действительных корней.
Решение:
Идея построения искомого примера видна из приведенного рисунка: в случае $a_1 = -7, a_2 = -6, \cdots, a_{10} = 2$ графики функций $у = (x - a_1)\cdots (x - a_{10})$ и $у = (x + a_i)\cdots (x + a_{10})$ пересекаются ровно в 5 точках: $x = 0, \pm 1, \pm 2$. Ясно, что на промежутке $[-2; 2]$ других корней нет. Вне этого отрезка получаем:
$(x + 7)(x + 6)\cdots (x + 3) = (x - 7)(x - 6) \cdots(x - 3)$,
т.е.
$2[(7 + 6 + 5 + 4 + 3)x^4 + (7 \cdot 6 \cdot 5 + 7 \cdot 6 \cdot 4 + \cdots + 5 \cdot 4 \cdot 3)x^2 + 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3] = 0$, - биквадратное уравнение, не имеющее корней.
Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа $а_1,а_2,\cdots, а_10$, что уравнение
$(x - а_1)(x - а_2) \cdots (x - а_{10}) = (x + а_1)(x + а_2) \cdot \cdots \cdot (x + а_{10})$
будет иметь ровно 5 различных действительных корней.
Решение:
Идея построения искомого примера видна из приведенного рисунка: в случае $a_1 = -7, a_2 = -6, \cdots, a_{10} = 2$ графики функций $у = (x - a_1)\cdots (x - a_{10})$ и $у = (x + a_i)\cdots (x + a_{10})$ пересекаются ровно в 5 точках: $x = 0, \pm 1, \pm 2$. Ясно, что на промежутке $[-2; 2]$ других корней нет. Вне этого отрезка получаем:
$(x + 7)(x + 6)\cdots (x + 3) = (x - 7)(x - 6) \cdots(x - 3)$,
т.е.
$2[(7 + 6 + 5 + 4 + 3)x^4 + (7 \cdot 6 \cdot 5 + 7 \cdot 6 \cdot 4 + \cdots + 5 \cdot 4 \cdot 3)x^2 + 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3] = 0$, - биквадратное уравнение, не имеющее корней.
