Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1598
2019-01-19 
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ провели биссектрисы $l_a, l_b, l_c, l_d$ внешних углов $A, B, C, D$ соответственно. Точки пересечения прямых $l_a$ и $l_b$, $l_b$ и $l_c$, $l_c$ и $l_d$, $l_d$ и $l_a$ обозначили через $K, L, M, N$. Известно, что 3 перпендикуляра, опущенных из $K$ на $AB$, из $L$ на $BC$, из $M$ на $CD$ пересекаются в одной точке. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ вписанный.
Решение:
Обозначим через $O$ точку пересечения перпендикуляров из $K$ на $AB$, из $L$ на $BC$, из $M$ на $CD$. Обозначим также $\angle BAK = \angle DAN = \alpha, \angle CBL = \angle ABK = \beta, \angle DCM = \angle BCL = \gamma, \angle ADN = \angle CDM = \delta$. Очевидно, что $2(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 2 \pi$ как сумма внешних углов $ABCD$.
Из треугольников $AKB$ и $CMD$ получаем тогда, что $\angle AKB + \angle CMD = \pi$, т. е. четырехугольник $KLMN$ вписанный. Далее, так как $LO \perp СВ$, то $\angle CLO = \frac{\pi}{2} - \gamma$ и аналогично $\angle CMO = \frac {\pi}{2} - \gamma$. Поэтому $\triangle OLM$ равнобедренный, $LO = OM$, и так же $LO = OK$. Следовательно, $O$ - центр описанной около четырехугольника $KLMN$ окружности.
Углы $LOM$ и $LOK$ - центральные и равны $2 \gamma$ и $2 \beta$ соответственно. По теореме о вписанном угле получаем, что $\angle LNM = \gamma и \angle LNK = \beta$. Пусть $X$ - точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ (не умаляя общности, считаем, что $X$ лежит на луче $BA$). Точка $L$ равноудалена от $AB, BC$ и $CD$ и лежит по ту же сторону от $AB$ и $CD$, что и $ABCD$; аналогично, $N$ равноудалена от $AB, AD$ и $CD$. Значит, прямая $LN$ - биссектриса угла, образованного $CD$ и $AB$ или параллельна $CD$ и $AB$ в случае $CD \parallel AB$. В любом случае $LN$ образует равные углы с $AB$ и $CD$. Следовательно, $\angle LNM - \angle CDM = \angle LNK - \angle BAK$, т. е. $\gamma - \delta = \beta - \alpha$, откуда $\alpha + \gamma = \beta + \delta = \frac{\pi}{2}$. Наконец, $\angle BAD + \angle BCD = 2 \pi - 2(\alpha + \gamma) = \pi$. Следовательно, $ABCD$ - вписанный, что и требовалось доказать.
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ провели биссектрисы $l_a, l_b, l_c, l_d$ внешних углов $A, B, C, D$ соответственно. Точки пересечения прямых $l_a$ и $l_b$, $l_b$ и $l_c$, $l_c$ и $l_d$, $l_d$ и $l_a$ обозначили через $K, L, M, N$. Известно, что 3 перпендикуляра, опущенных из $K$ на $AB$, из $L$ на $BC$, из $M$ на $CD$ пересекаются в одной точке. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ вписанный.
Решение:
Обозначим через $O$ точку пересечения перпендикуляров из $K$ на $AB$, из $L$ на $BC$, из $M$ на $CD$. Обозначим также $\angle BAK = \angle DAN = \alpha, \angle CBL = \angle ABK = \beta, \angle DCM = \angle BCL = \gamma, \angle ADN = \angle CDM = \delta$. Очевидно, что $2(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 2 \pi$ как сумма внешних углов $ABCD$.
Из треугольников $AKB$ и $CMD$ получаем тогда, что $\angle AKB + \angle CMD = \pi$, т. е. четырехугольник $KLMN$ вписанный. Далее, так как $LO \perp СВ$, то $\angle CLO = \frac{\pi}{2} - \gamma$ и аналогично $\angle CMO = \frac {\pi}{2} - \gamma$. Поэтому $\triangle OLM$ равнобедренный, $LO = OM$, и так же $LO = OK$. Следовательно, $O$ - центр описанной около четырехугольника $KLMN$ окружности.
Углы $LOM$ и $LOK$ - центральные и равны $2 \gamma$ и $2 \beta$ соответственно. По теореме о вписанном угле получаем, что $\angle LNM = \gamma и \angle LNK = \beta$. Пусть $X$ - точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ (не умаляя общности, считаем, что $X$ лежит на луче $BA$). Точка $L$ равноудалена от $AB, BC$ и $CD$ и лежит по ту же сторону от $AB$ и $CD$, что и $ABCD$; аналогично, $N$ равноудалена от $AB, AD$ и $CD$. Значит, прямая $LN$ - биссектриса угла, образованного $CD$ и $AB$ или параллельна $CD$ и $AB$ в случае $CD \parallel AB$. В любом случае $LN$ образует равные углы с $AB$ и $CD$. Следовательно, $\angle LNM - \angle CDM = \angle LNK - \angle BAK$, т. е. $\gamma - \delta = \beta - \alpha$, откуда $\alpha + \gamma = \beta + \delta = \frac{\pi}{2}$. Наконец, $\angle BAD + \angle BCD = 2 \pi - 2(\alpha + \gamma) = \pi$. Следовательно, $ABCD$ - вписанный, что и требовалось доказать.
