Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1596
2019-01-19 
При каком наименьшем $n$ квадрат $n \times n$ можно разрезать на квадраты $40 \times 40$ и $49 \times 49$ так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?
Решение:
Во-первых, заметим, что при $n = 2000 = 40 \times 49 + 40$ требуемое разрезание существует (см. рис.). Допустим, что найдется квадрат $n \times n,$ где $n < 2000$, удовлетворяющий условию. Тогда в нем можно выбрать столбец (строку), пересекающий как квадрат $40 \times 40$, так и квадрат $49 \times 49$; таковым, например, окажется один из выделенных на рис. трех рядов.
Пусть в выбранном ряду а квадратов $40 \times 40$, и $b$ квадратов $49 \times 49$. Тогда получаем $40a + 49b = n$, где $а \geq 1$ и $b \geq 1$. Пусть $i$-ый столбец ($1 \leq i \leq n$) квадрата $n \times n$ пересекается с $a_i$ квадратами $40 \times 40$ и $b_i$ квадратами $49 \times 49$. Тогда из равенства $40(a_i - a) +49(b_i - b) = 0$ следует, что $a_i - а$ делится на 49, $b_i - b$ делится на 40, и если $a_i \neq а$, то $b_i = b$. В этом случае, если $b < 40$, то $b_i \geq 41$ и $n \geq 2009$, а если $b \geq 40$, то $n \geq 49 \cdot 40 + 40 = 2000$, так как $а \geq 1$. Значит, если $n < 2000$, то для всех $i, 1 \leq i \leq n, a_i = a, b_i = b$. Тогда первый столбец пересекается с $а$ квадратами $40 \times 40$ и первые 40 столбцов с другими квадратами $40 \times 40$ не пересекаются. Аналогично, следующие $а$ квадратов $40 \times 40$ целиком содержатся в столбцах 41-80. Тогда следующие квадраты $49 \times 49$ располагаются в столбцах 50-98, и т. д. до столбца с номером $40 \cdot 49$. Далее можно отрезать первые $40 \cdot 49$ столбцов и повторить рассуждение с оставшимися. В итоге получаем, что $n$ делится на $40 \cdot 49$, т. е. $n = k \cdot 40 \times 49, k$ - целое. Но уравнение $40a + 49b = 40 \cdot 49$ при $a \geq 1, b \geq 1$ целых корней не имеет. Значит, $n \geq 2 \cdot 40 \cdot 49 > 2000$. Следовательно, наименьшее возможное значение $n$ равно 2000.
Ответ. $n = 2000$.
При каком наименьшем $n$ квадрат $n \times n$ можно разрезать на квадраты $40 \times 40$ и $49 \times 49$ так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?
Решение:
Во-первых, заметим, что при $n = 2000 = 40 \times 49 + 40$ требуемое разрезание существует (см. рис.). Допустим, что найдется квадрат $n \times n,$ где $n < 2000$, удовлетворяющий условию. Тогда в нем можно выбрать столбец (строку), пересекающий как квадрат $40 \times 40$, так и квадрат $49 \times 49$; таковым, например, окажется один из выделенных на рис. трех рядов.
Пусть в выбранном ряду а квадратов $40 \times 40$, и $b$ квадратов $49 \times 49$. Тогда получаем $40a + 49b = n$, где $а \geq 1$ и $b \geq 1$. Пусть $i$-ый столбец ($1 \leq i \leq n$) квадрата $n \times n$ пересекается с $a_i$ квадратами $40 \times 40$ и $b_i$ квадратами $49 \times 49$. Тогда из равенства $40(a_i - a) +49(b_i - b) = 0$ следует, что $a_i - а$ делится на 49, $b_i - b$ делится на 40, и если $a_i \neq а$, то $b_i = b$. В этом случае, если $b < 40$, то $b_i \geq 41$ и $n \geq 2009$, а если $b \geq 40$, то $n \geq 49 \cdot 40 + 40 = 2000$, так как $а \geq 1$. Значит, если $n < 2000$, то для всех $i, 1 \leq i \leq n, a_i = a, b_i = b$. Тогда первый столбец пересекается с $а$ квадратами $40 \times 40$ и первые 40 столбцов с другими квадратами $40 \times 40$ не пересекаются. Аналогично, следующие $а$ квадратов $40 \times 40$ целиком содержатся в столбцах 41-80. Тогда следующие квадраты $49 \times 49$ располагаются в столбцах 50-98, и т. д. до столбца с номером $40 \cdot 49$. Далее можно отрезать первые $40 \cdot 49$ столбцов и повторить рассуждение с оставшимися. В итоге получаем, что $n$ делится на $40 \cdot 49$, т. е. $n = k \cdot 40 \times 49, k$ - целое. Но уравнение $40a + 49b = 40 \cdot 49$ при $a \geq 1, b \geq 1$ целых корней не имеет. Значит, $n \geq 2 \cdot 40 \cdot 49 > 2000$. Следовательно, наименьшее возможное значение $n$ равно 2000.
Ответ. $n = 2000$.
