Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1595
2019-01-19 
Дан параллелограмм $ABCD$ с $\angle A = 60^{\circ}$. Точка $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $ABD$. Прямая $AO$ пересекает биссектрису внешнего угла $C$ в точке $K$. Найдите $ \frac {AO}{OK}$.
Решение:
Для окружности, описанной около $\triangle ABD, \angle BOD$ - центральный, поэтому $\angle BOD = 2 \angle BAD = 120^{\circ} \Rightarrow \angle BOD + \angle BCD = 180^{\circ}$ (см. рис.). Следовательно, точки $B, C, D, O$ лежат на одной окружности, и тогда $\angle OCK = \angle OCD + \angle DCK = \angle OBD + \angle DCK = 90^{\circ}$. Рассмотрим $O_1$ - центр описанной окружности $\triangle BCD$. Заметим, что треугольник $BOO_1$ равносторонний, так как $BO = BO_1$ и $\angle O_1BO = 60^{\circ}$. Пусть $M$ - точка пересечения серединного перпендикуляра к $OC$ с прямой $AK$. Тогда $AO = OO_1 = O_1C, OM = MC = MK$ (так как треугольник $BOO_1$ - равносторонний, а $OCK$ - прямоугольный). Точки $O$ и $O_1$ - центры описанных окружностей симметричных треугольников $ABD$ и $CDB$, поэтому четырехугольник $AOCO_1$ центральносимметричен. Следовательно, $AOCO_1$ - параллелограмм, тогда $O_1C \parallel OM$, и значит, $OO_1CM$ - ромб, откуда $AO = OM = MK$.
Ответ. $1 / 2$.
Дан параллелограмм $ABCD$ с $\angle A = 60^{\circ}$. Точка $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $ABD$. Прямая $AO$ пересекает биссектрису внешнего угла $C$ в точке $K$. Найдите $ \frac {AO}{OK}$.
Решение:
Для окружности, описанной около $\triangle ABD, \angle BOD$ - центральный, поэтому $\angle BOD = 2 \angle BAD = 120^{\circ} \Rightarrow \angle BOD + \angle BCD = 180^{\circ}$ (см. рис.). Следовательно, точки $B, C, D, O$ лежат на одной окружности, и тогда $\angle OCK = \angle OCD + \angle DCK = \angle OBD + \angle DCK = 90^{\circ}$. Рассмотрим $O_1$ - центр описанной окружности $\triangle BCD$. Заметим, что треугольник $BOO_1$ равносторонний, так как $BO = BO_1$ и $\angle O_1BO = 60^{\circ}$. Пусть $M$ - точка пересечения серединного перпендикуляра к $OC$ с прямой $AK$. Тогда $AO = OO_1 = O_1C, OM = MC = MK$ (так как треугольник $BOO_1$ - равносторонний, а $OCK$ - прямоугольный). Точки $O$ и $O_1$ - центры описанных окружностей симметричных треугольников $ABD$ и $CDB$, поэтому четырехугольник $AOCO_1$ центральносимметричен. Следовательно, $AOCO_1$ - параллелограмм, тогда $O_1C \parallel OM$, и значит, $OO_1CM$ - ромб, откуда $AO = OM = MK$.
Ответ. $1 / 2$.
