Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1592
2019-01-19 
Клетки таблицы $200 \times 200$ окрашены в черный и белый цвета так, что черных клеток на 404 больше, чем белых. Докажите, что найдется квадрат $2 \times 2$, в котором число белых клеток нечетно.
Решение:
Предположим, что указанного квадрата не существует. Тогда в любом квадрате $2 \times 2$ четное число белых клеток, т. е. если верхние клетки квадрата окрашены одинаково, то и нижние клетки окрашены одинаково, а если верхние клетки окрашены по-разному, то и нижние окрашены по-разному.
Рассмотрим верхнюю строку таблицы и строку, стоящую под ней. Из сказанного следует, что эти строки либо окрашены одинаково (если их первые клетки окрашены одинаково), либо окрашены так, что под белой клеткой находится черная, а под черной - белая (если их первые клетки окрашены по-разному). Аналогичное утверждение справедливо для любых двух подряд идущих строк.
Заметим, что если мы перекрасим клетки какой-нибудь строки в противоположный цвет, а затем к полученной строке применим ту же операцию, то мы в результате получим исходную строку. Следовательно, в нашей таблице есть только два типа строк: первая строка и строка, полученная из нее перекрашиванием клеток в противоположный цвет.
Пусть в первой строке $a$ черных клеток, и строк такого типа в нашей таблице $b$. Тогда число черных клеток в таблице равно
$ab +(200 - а)(200 - b)$,
а белых клеток -
$а(200 - b)+b(200 - а)$.
Их разность по условию равна 404, т. е.
$4ab - 2 \cdot 200(a + b) + 200^2 = 404$, откуда $(a - 100)(b - 100) = 101$.
Так как $|a - 100| \leq 100, |b - 100| \leq 100,$ а 101 - простое число, то последнее уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Получили противоречие.
Клетки таблицы $200 \times 200$ окрашены в черный и белый цвета так, что черных клеток на 404 больше, чем белых. Докажите, что найдется квадрат $2 \times 2$, в котором число белых клеток нечетно.
Решение:
Предположим, что указанного квадрата не существует. Тогда в любом квадрате $2 \times 2$ четное число белых клеток, т. е. если верхние клетки квадрата окрашены одинаково, то и нижние клетки окрашены одинаково, а если верхние клетки окрашены по-разному, то и нижние окрашены по-разному.
Рассмотрим верхнюю строку таблицы и строку, стоящую под ней. Из сказанного следует, что эти строки либо окрашены одинаково (если их первые клетки окрашены одинаково), либо окрашены так, что под белой клеткой находится черная, а под черной - белая (если их первые клетки окрашены по-разному). Аналогичное утверждение справедливо для любых двух подряд идущих строк.
Заметим, что если мы перекрасим клетки какой-нибудь строки в противоположный цвет, а затем к полученной строке применим ту же операцию, то мы в результате получим исходную строку. Следовательно, в нашей таблице есть только два типа строк: первая строка и строка, полученная из нее перекрашиванием клеток в противоположный цвет.
Пусть в первой строке $a$ черных клеток, и строк такого типа в нашей таблице $b$. Тогда число черных клеток в таблице равно
$ab +(200 - а)(200 - b)$,
а белых клеток -
$а(200 - b)+b(200 - а)$.
Их разность по условию равна 404, т. е.
$4ab - 2 \cdot 200(a + b) + 200^2 = 404$, откуда $(a - 100)(b - 100) = 101$.
Так как $|a - 100| \leq 100, |b - 100| \leq 100,$ а 101 - простое число, то последнее уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Получили противоречие.
