Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 159
2014-06-07 
Доказать, что для любых значений $m,n \in \mathbf{N}$ и любых чисел $x_{1}, \cdots , x_{n}, y_{1}, \cdots , y_{n} \in [0; 1]$, удовлетворяющих условиям $x_{i} + y_{i} = 1$ при $i = 1, \cdots ,n$, справедливо неравенство
$(1 – x_{1} \cdots x_{n})^{m} + (1 – y^{m}_{1}) \cdots (1 – y^{m}_{n}) \geq 1$.
Решение:
Доказательство проведем индукцией по $n \in \mathbf{N}$. Поскольку
$(1-x_{1})^{m} + (1-y_{1}^{m}) = y_{1}^{m} + (1-y_{1}^{m}) = 1$
то при $n=1$ утверждение верно. Пусть оно верно для числа $n – 1$, тогда имеем
$(1 – x_{1} \cdots x_{n})^{m} + (1-y_{1}^{m}) \cdots (1 – y^{m}_{n}) =$
$= (1 – x_{1} \cdots x_{n-1} (1-y_{n}))^{m} + (1 – y_{1}^{m}) \cdots (1 – y_{n-1}^{m})(1 – y_{n}^{m}) \geq$
$\geq (1 – x_{1} \cdots x_{n-1} + x_{1} \cdots x_{n-1} y_{n})^{m} + (1-(1-x_{1} \cdots x_{n-1})^{m})(1-y^{m}_{n}) =$
$= (a + (1-a)y_{n})^{m} + (1-a^{m})(1-y^{m}_{n}) = (a+b-ab)^{m} + (1-a^{m})(1-b^{m})$,
где обозначено $a = 1 – x_{1} \cdots x_{n-1}$ и $b = y_{n}$. Докажем индукцией по $m \in \mathbf{N}$, что для любых чисел $a, b \in [0; 1]$ справедливо неравенство
$(a+b-ab)^{m} \geq a^{m} + b^{m} – a^{m}b^{m}$.
При $m=1$ это неравенство обращается в равенство. Пусть для числа $m – 1$ неравенство также верно, т. е.
$(a+b-ab)^{m-1} \geq a^{m-1} + b^{m-1} – a^{m-1}b^{m-1}$.
Тогда (учитывай к тому же, что $a + b – ab \geq 0$) получаем справедливость этого неравенства дли числа $m$. Действительно,
$(a+b-ab)^{m} – a^{m} – b^{m} + a^{m}b^{m} \geq $
$\geq (a^{m-1} + b^{m-1} - a^{m-1}b^{m-1}) (a+b-ab) –a^{m} – b^{m} + a^{m}b^{m} =$
$=2a^{m}b^{m} + ab^{m-1} + ba^{m-1} – a^{m}b^{m-1} – b^{m}a^{m-1} – a^{m}b – b^{m}a =$
$= a^{m} (b^{m} – b^{m-1}) + a (b^{m-1} – b^{m}) + b^{m}(a^{m} – a^{m-1}) + b(a^{m-1} – a^{m}) = $
$= (b^{m-1} – b^{m}) (a – a^{m}) + (a^{m-1} – a^{m})(b – b^{m}) \geq 0$,
так как $a \geq a^{m-1} \geq a^{m}, b \geq b^{m-1} \geq b^{m}$. Итак, доказано, что для любого числа $m \in \mathbf{N}$ справедливо неравенство, которое можно переписать в виде
$(a+b-ab)^{m} + (1-a^{m})(1-b^{m}) \geq 1$.
Из него, согласно принятым выше обозначениям, вытекает справедливость требуемого в задаче неравенства для числа $n$. Па этом индуктивный переход закончен. Утверждение доказано.
Доказать, что для любых значений $m,n \in \mathbf{N}$ и любых чисел $x_{1}, \cdots , x_{n}, y_{1}, \cdots , y_{n} \in [0; 1]$, удовлетворяющих условиям $x_{i} + y_{i} = 1$ при $i = 1, \cdots ,n$, справедливо неравенство
$(1 – x_{1} \cdots x_{n})^{m} + (1 – y^{m}_{1}) \cdots (1 – y^{m}_{n}) \geq 1$.
Решение:
Доказательство проведем индукцией по $n \in \mathbf{N}$. Поскольку
$(1-x_{1})^{m} + (1-y_{1}^{m}) = y_{1}^{m} + (1-y_{1}^{m}) = 1$
то при $n=1$ утверждение верно. Пусть оно верно для числа $n – 1$, тогда имеем
$(1 – x_{1} \cdots x_{n})^{m} + (1-y_{1}^{m}) \cdots (1 – y^{m}_{n}) =$
$= (1 – x_{1} \cdots x_{n-1} (1-y_{n}))^{m} + (1 – y_{1}^{m}) \cdots (1 – y_{n-1}^{m})(1 – y_{n}^{m}) \geq$
$\geq (1 – x_{1} \cdots x_{n-1} + x_{1} \cdots x_{n-1} y_{n})^{m} + (1-(1-x_{1} \cdots x_{n-1})^{m})(1-y^{m}_{n}) =$
$= (a + (1-a)y_{n})^{m} + (1-a^{m})(1-y^{m}_{n}) = (a+b-ab)^{m} + (1-a^{m})(1-b^{m})$,
где обозначено $a = 1 – x_{1} \cdots x_{n-1}$ и $b = y_{n}$. Докажем индукцией по $m \in \mathbf{N}$, что для любых чисел $a, b \in [0; 1]$ справедливо неравенство
$(a+b-ab)^{m} \geq a^{m} + b^{m} – a^{m}b^{m}$.
При $m=1$ это неравенство обращается в равенство. Пусть для числа $m – 1$ неравенство также верно, т. е.
$(a+b-ab)^{m-1} \geq a^{m-1} + b^{m-1} – a^{m-1}b^{m-1}$.
Тогда (учитывай к тому же, что $a + b – ab \geq 0$) получаем справедливость этого неравенства дли числа $m$. Действительно,
$(a+b-ab)^{m} – a^{m} – b^{m} + a^{m}b^{m} \geq $
$\geq (a^{m-1} + b^{m-1} - a^{m-1}b^{m-1}) (a+b-ab) –a^{m} – b^{m} + a^{m}b^{m} =$
$=2a^{m}b^{m} + ab^{m-1} + ba^{m-1} – a^{m}b^{m-1} – b^{m}a^{m-1} – a^{m}b – b^{m}a =$
$= a^{m} (b^{m} – b^{m-1}) + a (b^{m-1} – b^{m}) + b^{m}(a^{m} – a^{m-1}) + b(a^{m-1} – a^{m}) = $
$= (b^{m-1} – b^{m}) (a – a^{m}) + (a^{m-1} – a^{m})(b – b^{m}) \geq 0$,
так как $a \geq a^{m-1} \geq a^{m}, b \geq b^{m-1} \geq b^{m}$. Итак, доказано, что для любого числа $m \in \mathbf{N}$ справедливо неравенство, которое можно переписать в виде
$(a+b-ab)^{m} + (1-a^{m})(1-b^{m}) \geq 1$.
Из него, согласно принятым выше обозначениям, вытекает справедливость требуемого в задаче неравенства для числа $n$. Па этом индуктивный переход закончен. Утверждение доказано.
