Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1588
2019-01-19 
Окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$. Через точку $A$ окружности $S_1$ проведены прямые $AM$ и $AN$, пересекающие $S_2$ в точках $B$ и $C$, а через точку $D$ окружности $S_2$ - прямые $DM$ и $DN$, пересекающие $S_1$ в точках $E$ и $F$, причем $A, E, F$ лежат по одну сторону от прямой $MN$, а $D, B, C$ - по другую (рис.). Докажите, что если $AB=DE$, то точки $A, F, C$ и $D$ лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек $A$ и $D$.
Решение:
Лемма (теорема Н.И.Фусса). Пусть окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$. Через точку $M$ проведена прямая, пересекающая $S_i$ в точке $E, S_2$ - в точке $D$, а через $N$ - прямая, пересекающая $S_i$ в точке $A, S_2$ - в точке $C$. Тогда $AE \parallel CD$.
Доказательство. Мы рассмотрим случай, изображенный на рис, который соответствует условию решаемой нами задачи. В остальных случаях доказательство проводится аналогично. Из вписанных четырехугольников $\angle NME$ и $NCDM$ получаем, что $\angle AEM = 180^{\circ} - \angle ANM = \angle MNC = 180^{\circ} - \angle MDC$, т. е. $\angle AEM + \angle MDC = 180^{\circ}$, следовательно, $AE \parallel CD$.
Перейдем к решению задачи, обратившись к рис.
Рассмотрим треугольники $ANB$ и $END$. Они равны, так как $AB = ED, \angle NAB = \angle NED, \angle NBA = \angle NDE$. Откуда $AN = NE$ и $BN = ND$.
Пусть $NK$ и $NL$ - диаметры $S_1$ и $S_2$ соответственно. Тогда $\angle KMN = \angle LMN = 90^{\circ}$, т. е. точки $K, M, L$ лежат на прямой, перпендикулярной $NM$. Кроме того, $\breve{AK} = \breve{KE}, \breve{BL} = \breve{LD}$, следовательно, $\angle AMK = \angle DML, \angle AMN = \angle DMN$. Теперь из вписанных четырехугольников $AFNM$ и $DCNM$ получаем, что $\angle AFN = \angle DCN$, т. е.точки $A, F, C, D$ лежат на одной окружности.
Покажем, что центр этой окружности - середина отрезка $KL$. Пусть прямая $KN$ пересекает $S_2$ в точке $P$, а прямая $LN$ пересекает $S_1$ в точке $T$. Из того, что $KP \perp AE (AN = NE)$ и $AE \parallel CD$ (лемма) следует, что $KP \perp CD$. Но $NP \perp PL$, откуда $PL \parallel CD$. Поэтому серединные перпендикуляры к $CD$ и $PL$ совпадают. Аналогично доказывается, что совпадают серединные перпендикуляры к $AF$ и $KT$. Осталось заметить, что эти перпендикуляры проходят через середину $KL$, так как треугольники $KPL$ и $KTL$ прямоугольные.
Замечание. Утверждение задачи остается справедливым, даже если в условии отказаться от уточнения взаимного расположения точек $A, E, F, D, B, C$.
Окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$. Через точку $A$ окружности $S_1$ проведены прямые $AM$ и $AN$, пересекающие $S_2$ в точках $B$ и $C$, а через точку $D$ окружности $S_2$ - прямые $DM$ и $DN$, пересекающие $S_1$ в точках $E$ и $F$, причем $A, E, F$ лежат по одну сторону от прямой $MN$, а $D, B, C$ - по другую (рис.). Докажите, что если $AB=DE$, то точки $A, F, C$ и $D$ лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек $A$ и $D$.
Решение:
Лемма (теорема Н.И.Фусса). Пусть окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$. Через точку $M$ проведена прямая, пересекающая $S_i$ в точке $E, S_2$ - в точке $D$, а через $N$ - прямая, пересекающая $S_i$ в точке $A, S_2$ - в точке $C$. Тогда $AE \parallel CD$.
Доказательство. Мы рассмотрим случай, изображенный на рис, который соответствует условию решаемой нами задачи. В остальных случаях доказательство проводится аналогично. Из вписанных четырехугольников $\angle NME$ и $NCDM$ получаем, что $\angle AEM = 180^{\circ} - \angle ANM = \angle MNC = 180^{\circ} - \angle MDC$, т. е. $\angle AEM + \angle MDC = 180^{\circ}$, следовательно, $AE \parallel CD$.
Перейдем к решению задачи, обратившись к рис.
Рассмотрим треугольники $ANB$ и $END$. Они равны, так как $AB = ED, \angle NAB = \angle NED, \angle NBA = \angle NDE$. Откуда $AN = NE$ и $BN = ND$.
Пусть $NK$ и $NL$ - диаметры $S_1$ и $S_2$ соответственно. Тогда $\angle KMN = \angle LMN = 90^{\circ}$, т. е. точки $K, M, L$ лежат на прямой, перпендикулярной $NM$. Кроме того, $\breve{AK} = \breve{KE}, \breve{BL} = \breve{LD}$, следовательно, $\angle AMK = \angle DML, \angle AMN = \angle DMN$. Теперь из вписанных четырехугольников $AFNM$ и $DCNM$ получаем, что $\angle AFN = \angle DCN$, т. е.точки $A, F, C, D$ лежат на одной окружности.
Покажем, что центр этой окружности - середина отрезка $KL$. Пусть прямая $KN$ пересекает $S_2$ в точке $P$, а прямая $LN$ пересекает $S_1$ в точке $T$. Из того, что $KP \perp AE (AN = NE)$ и $AE \parallel CD$ (лемма) следует, что $KP \perp CD$. Но $NP \perp PL$, откуда $PL \parallel CD$. Поэтому серединные перпендикуляры к $CD$ и $PL$ совпадают. Аналогично доказывается, что совпадают серединные перпендикуляры к $AF$ и $KT$. Осталось заметить, что эти перпендикуляры проходят через середину $KL$, так как треугольники $KPL$ и $KTL$ прямоугольные.
Замечание. Утверждение задачи остается справедливым, даже если в условии отказаться от уточнения взаимного расположения точек $A, E, F, D, B, C$.
