Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1586
2019-01-19 
Миша решил уравнение $x^2 + аx + b = 0$ и сообщил Диме набор из четырех чисел - два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие - коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?
Решение:
Предположим, что найдутся два различных уравнения $x^2 + ax + b = 0$ с корнями $с, d$ и $x^2 + a_1x + b_1 =0$ с корнями $с_1, d_1$, для которых совпадают наборы, указанные в условии. Тогда
$а + b + с + d = a_1 + b_1 + с_1 + d_1$. (1)
По теореме Виета $с + d = -а$ и $с_1 + d_1 = -a_1$, поэтому из равенства (1) следует, что $b = b_1$. Так как рассматриваемые уравнения различны, $а \neq а_1$. Без ограничения общности рассуждений можно считать, что $а \neq а_1 = с$. Тогда либо $а = с_1$ и $d = d_1,$ либо $а = d_1$ и $d = с_1$, т. е. $d$ - общий корень наших уравнений. Итак, $d_2 + ad + b = 0$ и $d_2 + cd + b = 0$. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $(а - c)d = 0$. Так как $а \neq с,$ то $d = 0$. Значит, $b = 0$, а это противоречит тому, что все числа набора различны.
Замечание. Если числа в наборе могут совпадать, то утверждение перестает быть верным: у уравнений $x^2 + 2x = 0$ и $x^2 - 2x = 0$ одинаковые наборы из корней и коэффициентов.
Ответ. Сможет.
Миша решил уравнение $x^2 + аx + b = 0$ и сообщил Диме набор из четырех чисел - два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие - коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?
Решение:
Предположим, что найдутся два различных уравнения $x^2 + ax + b = 0$ с корнями $с, d$ и $x^2 + a_1x + b_1 =0$ с корнями $с_1, d_1$, для которых совпадают наборы, указанные в условии. Тогда
$а + b + с + d = a_1 + b_1 + с_1 + d_1$. (1)
По теореме Виета $с + d = -а$ и $с_1 + d_1 = -a_1$, поэтому из равенства (1) следует, что $b = b_1$. Так как рассматриваемые уравнения различны, $а \neq а_1$. Без ограничения общности рассуждений можно считать, что $а \neq а_1 = с$. Тогда либо $а = с_1$ и $d = d_1,$ либо $а = d_1$ и $d = с_1$, т. е. $d$ - общий корень наших уравнений. Итак, $d_2 + ad + b = 0$ и $d_2 + cd + b = 0$. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $(а - c)d = 0$. Так как $а \neq с,$ то $d = 0$. Значит, $b = 0$, а это противоречит тому, что все числа набора различны.
Замечание. Если числа в наборе могут совпадать, то утверждение перестает быть верным: у уравнений $x^2 + 2x = 0$ и $x^2 - 2x = 0$ одинаковые наборы из корней и коэффициентов.
Ответ. Сможет.
