Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1584
2019-01-19 
Биссектрисы $AD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Прямая, симметричная $AB$ относительно $CE$, пересекает прямую, симметричную $BC$ относительно $AD$, в точке $K$. Докажите, что $KO \perp AC$.
Решение:
Пусть прямые $KE$ и $KD$ пересекают прямую $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Из условия следует симметричность треугольников $CBE$ и $CME$ относительно $CE$, значит, $\angle KMC = \angle B$. Аналогично, $\angle KNA = \angle B$, т. е. треугольник $MKN$ - равнобедренный. Кроме того, $BE = ME$ и $EC$ - биссектриса угла $MEB$. Значит, $EC$ - серединный перпендикуляр к отрезку $BM$, следовательно, $O$ - центр окружности, описанной около $\triangle MBN$. Но тогда $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MN$. Отсюда следует утверждение задачи.
Биссектрисы $AD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Прямая, симметричная $AB$ относительно $CE$, пересекает прямую, симметричную $BC$ относительно $AD$, в точке $K$. Докажите, что $KO \perp AC$.
Решение:
Пусть прямые $KE$ и $KD$ пересекают прямую $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Из условия следует симметричность треугольников $CBE$ и $CME$ относительно $CE$, значит, $\angle KMC = \angle B$. Аналогично, $\angle KNA = \angle B$, т. е. треугольник $MKN$ - равнобедренный. Кроме того, $BE = ME$ и $EC$ - биссектриса угла $MEB$. Значит, $EC$ - серединный перпендикуляр к отрезку $BM$, следовательно, $O$ - центр окружности, описанной около $\triangle MBN$. Но тогда $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MN$. Отсюда следует утверждение задачи.
