ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что для любого набора чисел $a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbf{R}$ можно подобрать такое значение $k \in {1; \cdots ; n}$, чтобы любые неотрицательные числа $b_{1} \geq b_{2} \geq \cdots \geq b_{n}$, не превосходящие 1, удовлетворяли неравенству
$\left | \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}a_{i} \right | \leq \left | \sum_{i=1}^{n} a_{i} \right |$.


Решение:


Заметим, что сумму $S= \sum_{i=1}^{n} b_{i}a_{i}$ можно представить в виде
$S = b_{1}a_{1} + \sum_{i=2}^{n}b_{i}(a_{1}+ \cdots + a_{i}) - \sum_{i=2}^{n} b_{i}(a_{1}+ \cdots + a_{i-1}) =$
$= \sum_{i=1}^{n} (a_{1}+ \cdots + a_{i})b_{i} - \sum_{i=1}^{n-1} (a_{1}+ \cdots + a_{i})b_{i+1} = $
$= \sum_{i=1}^{n} (a_{1}+ \cdots + a_{i})(b_{i} – b_{i+1})$,
где считаем $b_{n+1} = 0$. Далее, среди чисел $A_{i} = |a_{1} + \cdots + a_{i}| (i = 1, \cdots ,n)$ выберем наибольшее число $A_{k}$. Тогда для этого значения $k$ имеем
$|S| \leq \sum_{i=1}^{n} |a_{1}+ \cdots + a_{i}| \cdot |b_{i}-b_{i+1}| \leq$
$\leq \sum_{i=1}^{n} A_{k}(b_{i} – b_{i+1}) = A_{k} \sum_{i=1}^{n} (b_{i}-b_{i+1}) = A_{k} (b_{1} – b_{n+1}) \leq A_{k}$,
что и требовалось доказать.