Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1575
2019-01-19 
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.
Решение:
Первое решение. Если две большие грани не параллельны, то двугранный угол, содержащий эти грани, не может быть тупым (на рис. приведены проекции сферы и этих двух граней на плоскость, перпендикулярную линии их пересечения, проекции больших граней выделены). Поэтому, если восстановить перпендикуляр к каждой большой грани, идущий наружу от многогранника, то угол между любыми двумя такими перпендикулярами ($\alpha$ на![]()
) будет неострым.
Предположим, что утверждение задачи неверно и больших граней не менее 7. Тогда мы получаем 7 векторов $\vec{n_1}, \cdots, \vec{n_7}$, углы между которыми не меньше $90^{\circ}$ (для параллельных граней такой угол равен $180^{\circ}$). Отложим все векторы от одной точки $P$ и проведем плоскость $\beta$, проходящую через $P$ и не содержащую ни один из 7 векторов. Тогда по одну сторону от нее будут отложены по крайней мере 4 вектора (например, $ \vec {n_1},\cdots,\vec{n_4}$). Разложим каждый из них в сумму двух: $\vec {n_i} = \vec {a_i} + \vec {b_i},\:где \vec {a_i} \in \beta, \vec{b_i} \perp \beta$ (см. рис.). При этом можно считать, что $\vec{b_1} = \vec{b_2} = \vec{b_3} = \vec{b_4} = \vec{b}$, где $|\vec{b}| = 1$. По нашему предположению $(\vec{n_i}, \vec{n_j}) \leq 0$, так как углы между векторами не острые.
С другой стороны, $(\vec{n_i}, \vec{n_j}) = ((\vec{a_i} + \vec{b_i}, (\vec{a_j} + \vec{b_j}) = (\vec{a_i}, \vec{a_j}) + 1$, так как $(\vec{a_i}, \vec{b_j})=(\vec{a_j}, \vec{b_i})= 0, (\vec{b_i}, \vec{b_j}) = \vec{b}^2 = 1$. Итак, для четырех векторов $\vec{a_1},\cdots, \vec{a_4})$, лежащих в плоскости $\beta, (\vec{a_i}, \vec{a_j}) < 0$, что невозможно, так как угол хотя бы между двумя из них не тупой. Противоречие, значит, наше предположение о наличии у многогранника 7 больших граней неверно. 6 больших граней есть у куба.
Второе решение. Пусть $R$ - радиус шара. Сопоставим каждой большой грани часть граничной сферы шара, расположенную в конусе, вершиной которого служит центр шара, а основанием - проекция шара на эту грань. Указанная часть сферы является «сферической шапочкой» (т. е. частью сферы, лежащей по одну сторону от секущей сферу плоскости) высоты $h = R(1 - \sqrt{2}/2)$. По известной формуле площадь такой «шапочки» равна $2 \pi Rh = \pi R^2(2 - \sqrt{2})$. Так как указанные «шапочки» не перекрываются, сумма их площадей не превосходит площади сферы. Обозначив количество больших граней через $n$, получим $n(2 - \sqrt{2}) \leq 4$, т. е. $n \leq \frac{4}{2-\sqrt{2}}$. Решение заканчивается проверкой того, что $\frac{4}{2-\sqrt{2}} < 7$.
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.
Решение:
Первое решение. Если две большие грани не параллельны, то двугранный угол, содержащий эти грани, не может быть тупым (на рис. приведены проекции сферы и этих двух граней на плоскость, перпендикулярную линии их пересечения, проекции больших граней выделены). Поэтому, если восстановить перпендикуляр к каждой большой грани, идущий наружу от многогранника, то угол между любыми двумя такими перпендикулярами ($\alpha$ на
Предположим, что утверждение задачи неверно и больших граней не менее 7. Тогда мы получаем 7 векторов $\vec{n_1}, \cdots, \vec{n_7}$, углы между которыми не меньше $90^{\circ}$ (для параллельных граней такой угол равен $180^{\circ}$). Отложим все векторы от одной точки $P$ и проведем плоскость $\beta$, проходящую через $P$ и не содержащую ни один из 7 векторов. Тогда по одну сторону от нее будут отложены по крайней мере 4 вектора (например, $ \vec {n_1},\cdots,\vec{n_4}$). Разложим каждый из них в сумму двух: $\vec {n_i} = \vec {a_i} + \vec {b_i},\:где \vec {a_i} \in \beta, \vec{b_i} \perp \beta$ (см. рис.). При этом можно считать, что $\vec{b_1} = \vec{b_2} = \vec{b_3} = \vec{b_4} = \vec{b}$, где $|\vec{b}| = 1$. По нашему предположению $(\vec{n_i}, \vec{n_j}) \leq 0$, так как углы между векторами не острые.
С другой стороны, $(\vec{n_i}, \vec{n_j}) = ((\vec{a_i} + \vec{b_i}, (\vec{a_j} + \vec{b_j}) = (\vec{a_i}, \vec{a_j}) + 1$, так как $(\vec{a_i}, \vec{b_j})=(\vec{a_j}, \vec{b_i})= 0, (\vec{b_i}, \vec{b_j}) = \vec{b}^2 = 1$. Итак, для четырех векторов $\vec{a_1},\cdots, \vec{a_4})$, лежащих в плоскости $\beta, (\vec{a_i}, \vec{a_j}) < 0$, что невозможно, так как угол хотя бы между двумя из них не тупой. Противоречие, значит, наше предположение о наличии у многогранника 7 больших граней неверно. 6 больших граней есть у куба.
Второе решение. Пусть $R$ - радиус шара. Сопоставим каждой большой грани часть граничной сферы шара, расположенную в конусе, вершиной которого служит центр шара, а основанием - проекция шара на эту грань. Указанная часть сферы является «сферической шапочкой» (т. е. частью сферы, лежащей по одну сторону от секущей сферу плоскости) высоты $h = R(1 - \sqrt{2}/2)$. По известной формуле площадь такой «шапочки» равна $2 \pi Rh = \pi R^2(2 - \sqrt{2})$. Так как указанные «шапочки» не перекрываются, сумма их площадей не превосходит площади сферы. Обозначив количество больших граней через $n$, получим $n(2 - \sqrt{2}) \leq 4$, т. е. $n \leq \frac{4}{2-\sqrt{2}}$. Решение заканчивается проверкой того, что $\frac{4}{2-\sqrt{2}} < 7$.
