Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1570
2019-01-19 
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB, AC$ и $BC$ в точках $C_1, B_1$ и $A_1$ соответственно. Пусть $K$ - точка на окружности, диаметрально противоположная точке $C_1, D$ - точка пересечения прямых $B_1C_1$ и $A_1K$. Докажите, что $CD = CB_1$ .
Решение:
Пусть $D_1$ - такая точка на прямой $B_1C_1$, что $CD_1 \parallel AB$. Тогда $\triangle CD_1B_1$ и $\triangle AC_1B_1$ подобны, поэтому $CD_1 = CB_1$. Покажем, что $D_1$ лежит на $A_1K$, т. е. $D = D_1$.
В равнобедренном $\triangle CD_1A_1 \angle CA_1D_1 = \frac {1}{2}(\pi - \angle D_1CA_1)= \frac { \angle B}{2}$. С другой стороны, $A_1K \perp A_1C_1$ (так как $C_1K$ - диаметр) и $A_1C_1 \perp BI$, где $I$ - центр вписанной окружности. Поэтому $\angle CA_1K = \angle CBI = \frac{\angle B}{2}$, что и требовалось.
В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB, AC$ и $BC$ в точках $C_1, B_1$ и $A_1$ соответственно. Пусть $K$ - точка на окружности, диаметрально противоположная точке $C_1, D$ - точка пересечения прямых $B_1C_1$ и $A_1K$. Докажите, что $CD = CB_1$ .
Решение:
Пусть $D_1$ - такая точка на прямой $B_1C_1$, что $CD_1 \parallel AB$. Тогда $\triangle CD_1B_1$ и $\triangle AC_1B_1$ подобны, поэтому $CD_1 = CB_1$. Покажем, что $D_1$ лежит на $A_1K$, т. е. $D = D_1$.
В равнобедренном $\triangle CD_1A_1 \angle CA_1D_1 = \frac {1}{2}(\pi - \angle D_1CA_1)= \frac { \angle B}{2}$. С другой стороны, $A_1K \perp A_1C_1$ (так как $C_1K$ - диаметр) и $A_1C_1 \perp BI$, где $I$ - центр вписанной окружности. Поэтому $\angle CA_1K = \angle CBI = \frac{\angle B}{2}$, что и требовалось.
