Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 157
2014-06-07 
Доказать, что если число $M$ и набор чисел
$a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}$
$a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2n}$
$\cdots$
$a_{n1}, a_{n2}, \cdots, a_{nn}$
удовлетворяют неравенствам
$\sum_{j=1}^{n} |a_{j1}x_{1} + a_{j2}x_{2} + \cdots + a_{jn}x_{n}| \leq M$
при любых значениях $x_{1}, \cdots , x_{n} {-1; 1}$, то справедлива оценка
$|a_{11}| + |a_{22}| + \cdots + |a_{nn}| \leq M$
Решение:
Поскольку
$\sum_{j=1}^{n} |a_{j1}x_{1} + \cdots + a_{jn}x_{n}| \leq M$
дли любого набора чисел $x_{1}, \cdots, x_{n} \in {-1; 1}$, то имеем неравенство
$\frac{1}{2^{n}} \sum_{{x_{1}; \cdots ; x_{n}}} \left ( \sum_{j=1}^{n}|a_{j1}x_{1} + \cdots a_{jn}x_{n}| \right ) \leq M$,
которое можно переписать так:
$\sum_{j=1}^{n} \left (\frac{1}{2^{n}} \sum_{{x_{1}; \cdots ; x_{n}}} |a_{j1}x_{1} + \cdots a_{jn}x_{n}| \right ) \leq M$.
Для каждою фиксированного значения $j \in {1; \cdots ; n}$ в сумме
$S_{j} = \sum_{{x_{1}; \cdots ; x_{n}}} |a_{j1}x_{1} + \cdots a_{jn}x_{n}|$
разобьем нее $2^{n}$ слагаемых на $2^{n-1}$ пар так, что в каждой паре значения $x_{1}, \cdots, x_{j-1},x_{j+1}, \cdots ,x_{n}$ совпадают, а значения $x_{j}$ различны. Тогда сумма слагаемых в каждой паре имеет вид $|A + a_{jj}|+ |A + a_{jj}|$, где
$A = a_{j1}x_{1} + \cdots a_{j,(j-1)}x_{j-1} + a_{j,(j+1)}x_{j+1} + \cdots + a_{jn}x_{n}$.
Но
$|A + a_{jj}|+ |A + a_{jj}| \geq |(A + a_{jj}) – (A - a_{jj})| = 2 |a_{jj}|$,
поэтому $S_{j} \geq 2^{n-1} \cdot 2 |a_{jj}| = 2^{n} |a_{jj}|$. Таким образом, получаем
$|a_{11}| + \cdots + |a_{nn}| = \sum_{j=1}^{n} \left ( \frac{1}{2^{n}} 2^{n}|a_{jj}| \right ) \leq \sum_{j=1}^{n} \left ( \frac{1}{2^{n}} S_{j} \right ) \leq M$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что если число $M$ и набор чисел
$a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}$
$a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2n}$
$\cdots$
$a_{n1}, a_{n2}, \cdots, a_{nn}$
удовлетворяют неравенствам
$\sum_{j=1}^{n} |a_{j1}x_{1} + a_{j2}x_{2} + \cdots + a_{jn}x_{n}| \leq M$
при любых значениях $x_{1}, \cdots , x_{n} {-1; 1}$, то справедлива оценка
$|a_{11}| + |a_{22}| + \cdots + |a_{nn}| \leq M$
Решение:
Поскольку
$\sum_{j=1}^{n} |a_{j1}x_{1} + \cdots + a_{jn}x_{n}| \leq M$
дли любого набора чисел $x_{1}, \cdots, x_{n} \in {-1; 1}$, то имеем неравенство
$\frac{1}{2^{n}} \sum_{{x_{1}; \cdots ; x_{n}}} \left ( \sum_{j=1}^{n}|a_{j1}x_{1} + \cdots a_{jn}x_{n}| \right ) \leq M$,
которое можно переписать так:
$\sum_{j=1}^{n} \left (\frac{1}{2^{n}} \sum_{{x_{1}; \cdots ; x_{n}}} |a_{j1}x_{1} + \cdots a_{jn}x_{n}| \right ) \leq M$.
Для каждою фиксированного значения $j \in {1; \cdots ; n}$ в сумме
$S_{j} = \sum_{{x_{1}; \cdots ; x_{n}}} |a_{j1}x_{1} + \cdots a_{jn}x_{n}|$
разобьем нее $2^{n}$ слагаемых на $2^{n-1}$ пар так, что в каждой паре значения $x_{1}, \cdots, x_{j-1},x_{j+1}, \cdots ,x_{n}$ совпадают, а значения $x_{j}$ различны. Тогда сумма слагаемых в каждой паре имеет вид $|A + a_{jj}|+ |A + a_{jj}|$, где
$A = a_{j1}x_{1} + \cdots a_{j,(j-1)}x_{j-1} + a_{j,(j+1)}x_{j+1} + \cdots + a_{jn}x_{n}$.
Но
$|A + a_{jj}|+ |A + a_{jj}| \geq |(A + a_{jj}) – (A - a_{jj})| = 2 |a_{jj}|$,
поэтому $S_{j} \geq 2^{n-1} \cdot 2 |a_{jj}| = 2^{n} |a_{jj}|$. Таким образом, получаем
$|a_{11}| + \cdots + |a_{nn}| = \sum_{j=1}^{n} \left ( \frac{1}{2^{n}} 2^{n}|a_{jj}| \right ) \leq \sum_{j=1}^{n} \left ( \frac{1}{2^{n}} S_{j} \right ) \leq M$,
что и требовалось доказать.
