Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1567
2019-01-19 
На плоскости даны окружность $w$, точка $A$, лежащая внутри $w$ и точка $B (B \neq A)$. Рассматриваются всевозможные треугольники $BXY$, такие что точки $X$ и $Y$ лежат на $w$ и хорда $XY$ проходит через точку $A$. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников $BXY$, лежат на одной прямой.
Решение:
По теореме о произведении отрезков хорд произведение $XA \cdot AY$ не зависит от положения хорды $XY$ и равно некоторой постоянной величине $d$. На прямой $AB$ выберем точку $C$ такую, что $AC = \frac{d}{AB}$, причем $A$ лежит между $B$ и $C$.
Тогда $AB \cdot AC = XA \cdot AY = d$, следовательно точки $X, B, Y$ и $C$ лежат на одной окружности. Это означает, что окружности, описанные около треугольников $BXY$, проходят через фиксированные точки $B$ и $C$, следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.
На плоскости даны окружность $w$, точка $A$, лежащая внутри $w$ и точка $B (B \neq A)$. Рассматриваются всевозможные треугольники $BXY$, такие что точки $X$ и $Y$ лежат на $w$ и хорда $XY$ проходит через точку $A$. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников $BXY$, лежат на одной прямой.
Решение:
По теореме о произведении отрезков хорд произведение $XA \cdot AY$ не зависит от положения хорды $XY$ и равно некоторой постоянной величине $d$. На прямой $AB$ выберем точку $C$ такую, что $AC = \frac{d}{AB}$, причем $A$ лежит между $B$ и $C$.
Тогда $AB \cdot AC = XA \cdot AY = d$, следовательно точки $X, B, Y$ и $C$ лежат на одной окружности. Это означает, что окружности, описанные около треугольников $BXY$, проходят через фиксированные точки $B$ и $C$, следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.
