Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1563
2019-01-19 
Лабиринт представляет собой квадрат $8 \times 8$, в каждой клетке $1 \times 1$ которого нарисована одна из четырех стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки - выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на $90^{\circ}$ по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата $8 \times 8$, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на $90^{\circ}$ по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.
Решение:
Предположим, что фишка никогда не выйдет из лабиринта. Тогда на клетку с номером 1 (рис.) фишка попадет конечное число раз (менее 4), так как в противном случае, когда стрелка покажет на выход, фишка из лабиринта уйдет. Аналогично получаем, что после того, как фишка в последний раз побывает на поле 1 , она конечное число раз побывает на полях с номером 2. Продолжая рассуждения получаем, что после того, как фишка в последний раз побывала на полях с номерами $k, 1 \leq k \leq 14$, она конечное число раз побывает на любом поле с номером $k + 1$. Значит, на каждом поле фишка побывает конечное число раз, что противоречит неограниченности числа ходов. Следовательно, фишка должна выйти из лабиринта.
Лабиринт представляет собой квадрат $8 \times 8$, в каждой клетке $1 \times 1$ которого нарисована одна из четырех стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки - выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на $90^{\circ}$ по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата $8 \times 8$, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на $90^{\circ}$ по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.
Решение:
Предположим, что фишка никогда не выйдет из лабиринта. Тогда на клетку с номером 1 (рис.) фишка попадет конечное число раз (менее 4), так как в противном случае, когда стрелка покажет на выход, фишка из лабиринта уйдет. Аналогично получаем, что после того, как фишка в последний раз побывает на поле 1 , она конечное число раз побывает на полях с номером 2. Продолжая рассуждения получаем, что после того, как фишка в последний раз побывала на полях с номерами $k, 1 \leq k \leq 14$, она конечное число раз побывает на любом поле с номером $k + 1$. Значит, на каждом поле фишка побывает конечное число раз, что противоречит неограниченности числа ходов. Следовательно, фишка должна выйти из лабиринта.
