Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1561
2019-01-19 
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ нашлись такие точки $D$ и $E$,что $AB = AD$ и $BE = EC$ ($E$ между $A$ и $D$). Точка $F$ - середина дуги $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что точки $B, E, D, F$ лежат на одной окружности.
Решение:
Обозначим $\angle BDA$ через $\alpha$. Тогда (рис.) $ \angle BAD = 180^{\circ} - 2 \alpha, (AB = AD), \angle CBF = \frac{1}{2} \breve {FC} = \frac{1}{4} \breve {BC} = \frac{1}{2} \angle CAB = 90^{\circ} - \alpha$. Точки $E$ и $F$ равноудалены от точек $B$ и $C$, поэтому $FE$ - серединный перпендикуляр к отрезку $BC$, следовательно, $\angle BFE = 90^{\circ} - \angle CBF = \alpha$. Итак, $ \angle BDE = \alpha = \angle BFE$, т. е. точки $B, F, D, E$ на одной окружности.
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ нашлись такие точки $D$ и $E$,что $AB = AD$ и $BE = EC$ ($E$ между $A$ и $D$). Точка $F$ - середина дуги $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что точки $B, E, D, F$ лежат на одной окружности.
Решение:
Обозначим $\angle BDA$ через $\alpha$. Тогда (рис.) $ \angle BAD = 180^{\circ} - 2 \alpha, (AB = AD), \angle CBF = \frac{1}{2} \breve {FC} = \frac{1}{4} \breve {BC} = \frac{1}{2} \angle CAB = 90^{\circ} - \alpha$. Точки $E$ и $F$ равноудалены от точек $B$ и $C$, поэтому $FE$ - серединный перпендикуляр к отрезку $BC$, следовательно, $\angle BFE = 90^{\circ} - \angle CBF = \alpha$. Итак, $ \angle BDE = \alpha = \angle BFE$, т. е. точки $B, F, D, E$ на одной окружности.
