Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 156
2014-06-07 
Доказать, что для любых чисел $a_{1}, \cdots a_{n} \in [0;2] (n \geq 2)$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} |a_{i} – a_{j}| \leq n^{2}$.
Определить, при каких значениях $a_{1}, \cdots ,a_{n}$ достигается равенство.
Решение:
Без ограничения общности считаем, что $a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{n}$. Тогда
$S = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |a_{i}- a_{j}| = \sum_{1 \leq i < j \leq n} |a_{i}-a_{j}| + \sum_{1 \leq j < i \leq n} |a_{i} – a_{j}| =$
$2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} |a_{i}-a_{j}| = 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{m} – 2 \sum_{1 leq m < j \leq n} a_{m} =$
$=2 \sum_{m=1}^{n} (2m-n-1)a_{m}$.
Сумма $S$ принимает наибольшее значение в том и только в том случае, если для номеров $m$, удовлетворяющих неравенству $2m – n - 1 > 0$, каждое из чисел $a_{m}$, равно двум, а для номеров $m$, удовлетворяющих неравенству $2m – n - 1 < 0$, все числа $a_{m}$ равны нулю. Поэтому справедливо неравенство
$S \leq 4 \sum_{(n+1)/2 < m \leq n} (2m-n-1)$.
Пусть $n=2k+1 (k \in \mathbf{N})$, тогда
$S \leq 4 \sum_{m=k+2}^{2k+1} (2m-2k-2) = 8 (1 + 2 + \cdots + k) = 4k(k+1)=$
$= (2k+1)^{2} -1 < n^{2}$,
причем равенство $S = n^{2}$ невозможно. Пусть $n =2k (k \in \mathbf{N})$, тогда
$S \leq 4 \sum_{m=k+1}^{2k} (2m-2k-1) = 4 (1 + 3 + \cdots + (2k-1)) = 4k^{2} = n^{2}$.
При этом равенство $S=n^{2}$ выполняется тогда и только тогда, когда среди чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2k}$ ровно $k$ чисел равны двум, а остальные $k$ чисел равны нулю.
Доказать, что для любых чисел $a_{1}, \cdots a_{n} \in [0;2] (n \geq 2)$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} |a_{i} – a_{j}| \leq n^{2}$.
Определить, при каких значениях $a_{1}, \cdots ,a_{n}$ достигается равенство.
Решение:
Без ограничения общности считаем, что $a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{n}$. Тогда
$S = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |a_{i}- a_{j}| = \sum_{1 \leq i < j \leq n} |a_{i}-a_{j}| + \sum_{1 \leq j < i \leq n} |a_{i} – a_{j}| =$
$2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} |a_{i}-a_{j}| = 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{m} – 2 \sum_{1 leq m < j \leq n} a_{m} =$
$=2 \sum_{m=1}^{n} (2m-n-1)a_{m}$.
Сумма $S$ принимает наибольшее значение в том и только в том случае, если для номеров $m$, удовлетворяющих неравенству $2m – n - 1 > 0$, каждое из чисел $a_{m}$, равно двум, а для номеров $m$, удовлетворяющих неравенству $2m – n - 1 < 0$, все числа $a_{m}$ равны нулю. Поэтому справедливо неравенство
$S \leq 4 \sum_{(n+1)/2 < m \leq n} (2m-n-1)$.
Пусть $n=2k+1 (k \in \mathbf{N})$, тогда
$S \leq 4 \sum_{m=k+2}^{2k+1} (2m-2k-2) = 8 (1 + 2 + \cdots + k) = 4k(k+1)=$
$= (2k+1)^{2} -1 < n^{2}$,
причем равенство $S = n^{2}$ невозможно. Пусть $n =2k (k \in \mathbf{N})$, тогда
$S \leq 4 \sum_{m=k+1}^{2k} (2m-2k-1) = 4 (1 + 3 + \cdots + (2k-1)) = 4k^{2} = n^{2}$.
При этом равенство $S=n^{2}$ выполняется тогда и только тогда, когда среди чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2k}$ ровно $k$ чисел равны двум, а остальные $k$ чисел равны нулю.
