Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1557
2019-01-19 
Дан треугольник $ABC$. Точка $A_1$ симметрична вершине $A$ относительно прямой $BC$, а точка $C_1$ симметрична вершине $C$ относительно прямой $AB$. Докажите, что если точки $A_1, B$ и $C_1$ лежат на одной прямой и $C_1B = 2A_1B$, то угол $CA_1B$ - прямой.
Решение:
По условию $BC$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AA_1$, т. е. $AB = BA_1$ и $\angle A_1BC = \angle ABC$. Аналогично, $C_1B = BC$ и $\angle C_1BA =
= \angle ABC$. Итак, $3 \angle ABC = 180^{ \circ}$, т. е. $\angle ABC = 60^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle CBA_1$. В нем $ \angle CBA_1 = 60^{\circ}, CB = C_1B = 2BA_1$. Проведем $CA_2 \perp BA_1$. В прямоугольном треугольнике $CA_2B \angle BCA_2 = 30^{\circ}$, поэтому $BA_2 = \frac {1}{2} ВС$, т. e. $BA_2 = BA_1$. Точки $A_2$ и $A_1$ совпали, значит, $\angle CA_1B = 90^{\circ}$.
Дан треугольник $ABC$. Точка $A_1$ симметрична вершине $A$ относительно прямой $BC$, а точка $C_1$ симметрична вершине $C$ относительно прямой $AB$. Докажите, что если точки $A_1, B$ и $C_1$ лежат на одной прямой и $C_1B = 2A_1B$, то угол $CA_1B$ - прямой.
Решение:
По условию $BC$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AA_1$, т. е. $AB = BA_1$ и $\angle A_1BC = \angle ABC$. Аналогично, $C_1B = BC$ и $\angle C_1BA =
= \angle ABC$. Итак, $3 \angle ABC = 180^{ \circ}$, т. е. $\angle ABC = 60^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle CBA_1$. В нем $ \angle CBA_1 = 60^{\circ}, CB = C_1B = 2BA_1$. Проведем $CA_2 \perp BA_1$. В прямоугольном треугольнике $CA_2B \angle BCA_2 = 30^{\circ}$, поэтому $BA_2 = \frac {1}{2} ВС$, т. e. $BA_2 = BA_1$. Точки $A_2$ и $A_1$ совпали, значит, $\angle CA_1B = 90^{\circ}$.
