Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1556
2019-01-19 
Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа $k$, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем $k$ существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?
Решение:
При $k = 5$ годится следующий способ уравнивания давлений. Разделив баллоны на 8 групп по 5 баллонов, уравняем давления в баллонах каждой из этих групп. Затем образуем 5 новых групп так, чтобы каждая из них состояла из 8 баллонов, входивших ранее в разные группы. Равенства давлений в баллонах каждой из новых групп (а значит, и во всех 40 баллонах) достигнем, соединив сначала баллоны по четыре, а затем - по два, беря в каждую пару баллоны из разных четверок.
Покажем, что при $k \leq 4$ нужного способа не существует.
Пусть значение давления в одном из баллонов равно 2, а в каждом из остальных - 1; тогда после уравнивания значение давления в каждом баллоне должно оказаться равным $\frac{2 + 39-1}{40} = \frac{41}{40}$.
Но после каждого соединения все значения будут выражаться несократимыми дробями, знаменатели которых не делятся на 5. В самом деле, если перед каким-либо соединением ни один из знаменателей на 5 не делился, то и знаменатель среднего арифметического соответствующих двух, трех или четырех дробей, являясь удвоенным, утроенным или учетверенным наименьшим общим кратным их знаменателей, не может оказаться кратным 5. А так как 40 кратно 5, то уравнять давление при указанных первоначальных их значениях мы не сможем.
Ответ. 5.
Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа $k$, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем $k$ существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?
Решение:
При $k = 5$ годится следующий способ уравнивания давлений. Разделив баллоны на 8 групп по 5 баллонов, уравняем давления в баллонах каждой из этих групп. Затем образуем 5 новых групп так, чтобы каждая из них состояла из 8 баллонов, входивших ранее в разные группы. Равенства давлений в баллонах каждой из новых групп (а значит, и во всех 40 баллонах) достигнем, соединив сначала баллоны по четыре, а затем - по два, беря в каждую пару баллоны из разных четверок.
Покажем, что при $k \leq 4$ нужного способа не существует.
Пусть значение давления в одном из баллонов равно 2, а в каждом из остальных - 1; тогда после уравнивания значение давления в каждом баллоне должно оказаться равным $\frac{2 + 39-1}{40} = \frac{41}{40}$.
Но после каждого соединения все значения будут выражаться несократимыми дробями, знаменатели которых не делятся на 5. В самом деле, если перед каким-либо соединением ни один из знаменателей на 5 не делился, то и знаменатель среднего арифметического соответствующих двух, трех или четырех дробей, являясь удвоенным, утроенным или учетверенным наименьшим общим кратным их знаменателей, не может оказаться кратным 5. А так как 40 кратно 5, то уравнять давление при указанных первоначальных их значениях мы не сможем.
Ответ. 5.
