Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1555
2019-01-19 
На сторонах $BC, CA, AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $A_1, B_1, C_1$ так, что медианы $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно параллельны прямым $AB, BC, CA$. Определите, в каком отношении точки $A_1, B_1, C_1$ делят стороны треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $M$ - точка пересечения медиан $\triangle A_lB_lC_l$ и $A_3, B_3, C_3$ - точки, в которых продолжения медиан пересекают стороны $\triangle ABC$ (рис.). Из условия следует, что $MC_3CB_l$ - параллелограмм, поэтому $MC_3 = CB_l$.
Далее, прямая $C_lC_3$ проходит через середину отрезка $A_lB_l$ и параллельна $AC$, поэтому $MC_3$ - средняя линия $\triangle A_3A_lC \Rightarrow A_3C = 2MC_3 \Rightarrow A_3B_l = B_lC$. Но $A_2A_3$ - средняя линия $\triangle AB_lC_l \Rightarrow AA_3 = A_3B_l$, значит, $ AA_3 = A_3B_l = B_lC$, и точка $B_l$ делит сторону $AC$ в отношении $2 / 1$, считая от вершины $A$. Аналогично, $CA_l / A_lB = BC_l / C_lA = 2/1$.
Ответ. $\frac{CA_l}{A_lB} = \frac{BC_l}{C_lA} = \frac{AB_l}{B_lC} = \frac{2}{1}$.
На сторонах $BC, CA, AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $A_1, B_1, C_1$ так, что медианы $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно параллельны прямым $AB, BC, CA$. Определите, в каком отношении точки $A_1, B_1, C_1$ делят стороны треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $M$ - точка пересечения медиан $\triangle A_lB_lC_l$ и $A_3, B_3, C_3$ - точки, в которых продолжения медиан пересекают стороны $\triangle ABC$ (рис.). Из условия следует, что $MC_3CB_l$ - параллелограмм, поэтому $MC_3 = CB_l$.
Далее, прямая $C_lC_3$ проходит через середину отрезка $A_lB_l$ и параллельна $AC$, поэтому $MC_3$ - средняя линия $\triangle A_3A_lC \Rightarrow A_3C = 2MC_3 \Rightarrow A_3B_l = B_lC$. Но $A_2A_3$ - средняя линия $\triangle AB_lC_l \Rightarrow AA_3 = A_3B_l$, значит, $ AA_3 = A_3B_l = B_lC$, и точка $B_l$ делит сторону $AC$ в отношении $2 / 1$, считая от вершины $A$. Аналогично, $CA_l / A_lB = BC_l / C_lA = 2/1$.
Ответ. $\frac{CA_l}{A_lB} = \frac{BC_l}{C_lA} = \frac{AB_l}{B_lC} = \frac{2}{1}$.
