Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1550
2019-01-19 
Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка - черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть $A$ - количество черных отрезков на периметре, $B$ - количество белых, и пусть многоугольник состоит из $a$ черных и $b$ белых клеток. Докажите, что $A - B = 4 (a - b)$.
Решение:
Посчитаем стороны всех клеток, составляющих многоугольник, следующим образом: из количества сторон черных клеток вычтем количество сторон белых клеток. Эта величина равна $4(a - b)$, так как у каждой клетки четыре стороны, в то же время каждый отрезок, лежащий внутри многоугольника, был посчитан один раз со знаком «+» и один раз - со знаком "-". То есть полученная величина равна сумме отрезков периметра с соответствующими знаками: + для черных и - для белых, откуда и получаем требуемое равенство.
Замечание. Задачу можно решать по индукции, при доказательстве индуктивного перехода отбрасывая от многоугольника одну граничную клетку. При этом многоугольник может развалиться на несколько, и удобнее доказывать формулу не для одного многоугольника, а для совокупности. Число вариантов расположения отбрасываемой клетки может быть доведено до двух:
(с тремя сторонами, выходящими на периметр, и с двумя).
Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка - черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть $A$ - количество черных отрезков на периметре, $B$ - количество белых, и пусть многоугольник состоит из $a$ черных и $b$ белых клеток. Докажите, что $A - B = 4 (a - b)$.
Решение:
Посчитаем стороны всех клеток, составляющих многоугольник, следующим образом: из количества сторон черных клеток вычтем количество сторон белых клеток. Эта величина равна $4(a - b)$, так как у каждой клетки четыре стороны, в то же время каждый отрезок, лежащий внутри многоугольника, был посчитан один раз со знаком «+» и один раз - со знаком "-". То есть полученная величина равна сумме отрезков периметра с соответствующими знаками: + для черных и - для белых, откуда и получаем требуемое равенство.
Замечание. Задачу можно решать по индукции, при доказательстве индуктивного перехода отбрасывая от многоугольника одну граничную клетку. При этом многоугольник может развалиться на несколько, и удобнее доказывать формулу не для одного многоугольника, а для совокупности. Число вариантов расположения отбрасываемой клетки может быть доведено до двух:
(с тремя сторонами, выходящими на периметр, и с двумя).
