Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 155
2014-06-07 
Доказать, что для любого значения $\alpha \leq 1$ и любых чисел $x_{1}, \cdots, x_{n}$, удовлетворяющих условиям $1 \geq x_{1} \geq x_{2} \geq \cdots \geq > 0$, справедливо неравенство
$(1 + x_{1} +x_{2} + \cdots + x_{n})^{\alpha} \leq 1 + 1^{\alpha - 1} x_{1}^{\alpha} + 2^{\alpha - 1} x_{2}^{\alpha} + \cdots + n^{\alpha - 1} x_{n}^{\alpha}$
Решение:
Доказательство проведем индукцией по $n \in \mathbf{Z}^{+}$. При $n=0$ получаем верное неравенство $1^{\alpha} \leq 1$. Допустим, что неравенство справедливо для числа $n$, и докажем его для числа $n+1$. Имеем
$(1+x_{1}+ \cdots + x_{n} + x_{n+1})^{\alpha} – (1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha} =$
$= (1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha} \left ( \left ( 1 + \frac{x_{n+1}}{1+x_{1}+ \cdots + x_{n}} \right )^{\alpha} - 1 \right ) \leq$
$\leq (1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha – 1 } \cdot x_{n+1} \leq ((n+1) x_{n+1})^{\alpha -1} \cdot x_{n-1} =$
$= (n+1)^{\alpha - 1} \cdot x_{n-1}^{\alpha}$
(справедливость неравенства
$(1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha -1} \cdot x_{n+1} \leq ((n+1)x_{n+1})^{\alpha – 1 } \cdot x_{n+1}$
вытекает из условий $1+x_{1}+ \cdots + x_{n} \geq (n+1)x_{n+1}$ и $\alpha – 1 \leq 0$). Из доказанного неравенства и предположения индукции получаем
$(1+x_{1}+ \cdots + x_{n+1})^{\alpha} \leq (1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha} + (n+1)^{\alpha -1} x_{n+1}^{\alpha} \leq$
$\leq 1 + 1^{\alpha -1 }x_{1}^{\alpha} + 2^{\alpha -1 }x_{2}^{\alpha} \cdots + n^{\alpha -1 }x_{n}^{\alpha} + (n+1)^{\alpha -1 }x_{n+1}^{\alpha} $,
что и требовалось доказать.
Доказать, что для любого значения $\alpha \leq 1$ и любых чисел $x_{1}, \cdots, x_{n}$, удовлетворяющих условиям $1 \geq x_{1} \geq x_{2} \geq \cdots \geq > 0$, справедливо неравенство
$(1 + x_{1} +x_{2} + \cdots + x_{n})^{\alpha} \leq 1 + 1^{\alpha - 1} x_{1}^{\alpha} + 2^{\alpha - 1} x_{2}^{\alpha} + \cdots + n^{\alpha - 1} x_{n}^{\alpha}$
Решение:
Доказательство проведем индукцией по $n \in \mathbf{Z}^{+}$. При $n=0$ получаем верное неравенство $1^{\alpha} \leq 1$. Допустим, что неравенство справедливо для числа $n$, и докажем его для числа $n+1$. Имеем
$(1+x_{1}+ \cdots + x_{n} + x_{n+1})^{\alpha} – (1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha} =$
$= (1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha} \left ( \left ( 1 + \frac{x_{n+1}}{1+x_{1}+ \cdots + x_{n}} \right )^{\alpha} - 1 \right ) \leq$
$\leq (1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha – 1 } \cdot x_{n+1} \leq ((n+1) x_{n+1})^{\alpha -1} \cdot x_{n-1} =$
$= (n+1)^{\alpha - 1} \cdot x_{n-1}^{\alpha}$
(справедливость неравенства
$(1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha -1} \cdot x_{n+1} \leq ((n+1)x_{n+1})^{\alpha – 1 } \cdot x_{n+1}$
вытекает из условий $1+x_{1}+ \cdots + x_{n} \geq (n+1)x_{n+1}$ и $\alpha – 1 \leq 0$). Из доказанного неравенства и предположения индукции получаем
$(1+x_{1}+ \cdots + x_{n+1})^{\alpha} \leq (1+x_{1}+ \cdots + x_{n})^{\alpha} + (n+1)^{\alpha -1} x_{n+1}^{\alpha} \leq$
$\leq 1 + 1^{\alpha -1 }x_{1}^{\alpha} + 2^{\alpha -1 }x_{2}^{\alpha} \cdots + n^{\alpha -1 }x_{n}^{\alpha} + (n+1)^{\alpha -1 }x_{n+1}^{\alpha} $,
что и требовалось доказать.
