Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1545
2019-01-19 
Куб со стороной $n (n \geq 3)$ разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба?
Решение:
Покажем, что меньшего числа удаленных перегородок недостаточно.
Удалим все граничные кубики. Останется куб $(n - 2) \times (n - 2) \times (n - 2)$, разбитый перегородками на $(n - 2)^3$ кубиков. Теперь пространство разделено перегородками на $(n - 2)^3 + 1$ областей, считая внешнюю. Удаление одной перегородки уменьшает число областей не более, чем на 1. В конце число областей должно стать равным 1, поэтому придется удалить не менее $(n - 2)^3$ перегородок.
Этого количества хватает: достаточно из каждого неграничного кубика убрать нижнюю грань.
Ответ. $(n - 2)^3$.
Куб со стороной $n (n \geq 3)$ разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба?
Решение:
Покажем, что меньшего числа удаленных перегородок недостаточно.
Удалим все граничные кубики. Останется куб $(n - 2) \times (n - 2) \times (n - 2)$, разбитый перегородками на $(n - 2)^3$ кубиков. Теперь пространство разделено перегородками на $(n - 2)^3 + 1$ областей, считая внешнюю. Удаление одной перегородки уменьшает число областей не более, чем на 1. В конце число областей должно стать равным 1, поэтому придется удалить не менее $(n - 2)^3$ перегородок.
Этого количества хватает: достаточно из каждого неграничного кубика убрать нижнюю грань.
Ответ. $(n - 2)^3$.
