Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1544
2019-01-19 
В пятиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5$ проведены биссектрисы $l_1, l_2,\cdots, l_5$ углов $A_1, A_2,\cdots, A_5$ соответственно. Биссектрисы $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $B_1, l_2$ и $l_3$ - в точке $B_2$ и т.д., $l_5$ и $l_1$ пересекаются в точке $B_5$. Может ли пятиугольник $B_1B_2B_3B_4B_5$ оказаться выпуклым?
Решение:
Предположим, что пятиугольник $B_1B_2B_3B_4B_5$ - выпуклый. Возьмем точку $X$ внутри $B_1B_2B_3B_4B_5$. Опустим из $X$ на прямые $A_1A_2, A_2A_3, \cdots, A_5A_1$ перпендикуляры $XH_1, XH_2, \cdots, XH_5$ соответственно (рис.). Из расположения $X$ относительно биссектрис углов $A_i$ следует, что $XH_1 < XH_2 < XH_3 < XH_4 < XH_5 < XH_1$, - противоречие. Значит пятиугольник невыпуклый.
Ответ. Нет.
В пятиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5$ проведены биссектрисы $l_1, l_2,\cdots, l_5$ углов $A_1, A_2,\cdots, A_5$ соответственно. Биссектрисы $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $B_1, l_2$ и $l_3$ - в точке $B_2$ и т.д., $l_5$ и $l_1$ пересекаются в точке $B_5$. Может ли пятиугольник $B_1B_2B_3B_4B_5$ оказаться выпуклым?
Решение:
Предположим, что пятиугольник $B_1B_2B_3B_4B_5$ - выпуклый. Возьмем точку $X$ внутри $B_1B_2B_3B_4B_5$. Опустим из $X$ на прямые $A_1A_2, A_2A_3, \cdots, A_5A_1$ перпендикуляры $XH_1, XH_2, \cdots, XH_5$ соответственно (рис.). Из расположения $X$ относительно биссектрис углов $A_i$ следует, что $XH_1 < XH_2 < XH_3 < XH_4 < XH_5 < XH_1$, - противоречие. Значит пятиугольник невыпуклый.
Ответ. Нет.
