Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1543
2019-01-19 
Решите уравнение $\{ (x + 1)^3 \} = x^3$, где $\{ z \}$ - дробная часть числа $ z $, т. е. $\{ z \} = z - [ z ]$.
Решение:
Из определения дробной части следует, что $0 \leq х^3 < 1$, т. е. $0 \leq x < 1$. Кроме того, равенство ${а + b} = а$ выполняется тогда и только тогда, когда $b$ - целое число. Поэтому из равенства
$\{ х^3 + 3х^2 + 3х +1 \} = х^3$
следует, что $3х^2 + 3х$ - целое, т. е. $3х^2 + 3х = n$.
Функция $у = 3х^3 + 3х$ возрастает на $[0,1], у(0) = 0, у(1) = 6$, поэтому $0 \leq п < 6$ и из корней уравнения $3х^2 +3х - n = 0$ выбирается лежащий на промежутке $[0,1)$.
Ответ, $x= \frac {-3+ \sqrt {9+12n}}{6}, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Решите уравнение $\{ (x + 1)^3 \} = x^3$, где $\{ z \}$ - дробная часть числа $ z $, т. е. $\{ z \} = z - [ z ]$.
Решение:
Из определения дробной части следует, что $0 \leq х^3 < 1$, т. е. $0 \leq x < 1$. Кроме того, равенство ${а + b} = а$ выполняется тогда и только тогда, когда $b$ - целое число. Поэтому из равенства
$\{ х^3 + 3х^2 + 3х +1 \} = х^3$
следует, что $3х^2 + 3х$ - целое, т. е. $3х^2 + 3х = n$.
Функция $у = 3х^3 + 3х$ возрастает на $[0,1], у(0) = 0, у(1) = 6$, поэтому $0 \leq п < 6$ и из корней уравнения $3х^2 +3х - n = 0$ выбирается лежащий на промежутке $[0,1)$.
Ответ, $x= \frac {-3+ \sqrt {9+12n}}{6}, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
