Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1541
2019-01-19 
Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр - это максимальное расстояние между точками множества).
Решение:
Пусть $A$ и $B$ - любые две точки данного множества $M$, расстояние между которыми равно диаметру $d$ этого множества. Тогда из определения диаметра следует, что если $P \in M$, то $P$ лежит внутри или на границе «линзы», образованной пересечением кругов радиуса $d$ с центрами $A$ и $B$ (рис.). Докажем, что на одной из дуг $AKC$ и $BLD$ нет точек множества $M$, т. е. что если $K \neq A, L \neq B,$ то $KL > d$.
Действительно, если $ \angle BAK = \alpha, \angle LAK = \beta ,$ то $\beta > \alpha $, и из теоремы косинусов получаем
$KL^2 = AK^2 + d^2 - 2AKd \cos \beta > d^2$,
так как $AK = 2d \cos \alpha > 2d \cos \beta$.
Пусть, например, на дуге $AC$ нет точек множества $M$ за исключением точки $A$. Тогда, выбросив точку $A$ и разделив оставшееся множество точек на части по прямой $AB$, получим искомое разбиение, добавив точки прямой $AB$ к левой части, так как в каждой половине линзы только расстояния от границ до точек $A$ или $B$ могут равняться $d$.
Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр - это максимальное расстояние между точками множества).
Решение:
Пусть $A$ и $B$ - любые две точки данного множества $M$, расстояние между которыми равно диаметру $d$ этого множества. Тогда из определения диаметра следует, что если $P \in M$, то $P$ лежит внутри или на границе «линзы», образованной пересечением кругов радиуса $d$ с центрами $A$ и $B$ (рис.). Докажем, что на одной из дуг $AKC$ и $BLD$ нет точек множества $M$, т. е. что если $K \neq A, L \neq B,$ то $KL > d$.
Действительно, если $ \angle BAK = \alpha, \angle LAK = \beta ,$ то $\beta > \alpha $, и из теоремы косинусов получаем
$KL^2 = AK^2 + d^2 - 2AKd \cos \beta > d^2$,
так как $AK = 2d \cos \alpha > 2d \cos \beta$.
Пусть, например, на дуге $AC$ нет точек множества $M$ за исключением точки $A$. Тогда, выбросив точку $A$ и разделив оставшееся множество точек на части по прямой $AB$, получим искомое разбиение, добавив точки прямой $AB$ к левой части, так как в каждой половине линзы только расстояния от границ до точек $A$ или $B$ могут равняться $d$.
