Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1540
2019-01-19 
В остроугольном треугольнике $ABC$ через центр $O$ описанной окружности и вершины $B$ и $C$ проведена окружность $S$. Пусть $OK$ - диаметр окружности $S, D$ и $E$ - соответственно точки ее пересечения с прямыми $AB$ и $AC$. Докажите, что $ADKE$ - параллелограмм.
Решение:
По условию $OA = OB = OC$ (рис.). Пусть $\angle BAC = a$, тогда $\angle OBC = \frac {1}{2} (\angle OBC + \angle OCB) = \frac {1}{2} (\pi - \angle BOC) = \frac {1}{2} (\pi 2 \angle BAC) = \frac{\pi}{2} - a$. Поэтому $\angle KEA = \pi - \angle KEC = \pi - \frac {1}{2}KC = \frac {1}{2}KBC = \frac {1}{2}(\pi + CO) = \frac {\pi}{2} + (\frac {\pi}{2} - a) = \pi - a$. Отсюда следует, что $KE \parallel AD$. Аналогично, $KD \parallel AE$, значит, $ADKE$ - параллелограмм.
В остроугольном треугольнике $ABC$ через центр $O$ описанной окружности и вершины $B$ и $C$ проведена окружность $S$. Пусть $OK$ - диаметр окружности $S, D$ и $E$ - соответственно точки ее пересечения с прямыми $AB$ и $AC$. Докажите, что $ADKE$ - параллелограмм.
Решение:
По условию $OA = OB = OC$ (рис.). Пусть $\angle BAC = a$, тогда $\angle OBC = \frac {1}{2} (\angle OBC + \angle OCB) = \frac {1}{2} (\pi - \angle BOC) = \frac {1}{2} (\pi 2 \angle BAC) = \frac{\pi}{2} - a$. Поэтому $\angle KEA = \pi - \angle KEC = \pi - \frac {1}{2}KC = \frac {1}{2}KBC = \frac {1}{2}(\pi + CO) = \frac {\pi}{2} + (\frac {\pi}{2} - a) = \pi - a$. Отсюда следует, что $KE \parallel AD$. Аналогично, $KD \parallel AE$, значит, $ADKE$ - параллелограмм.
