Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1539
2019-01-19 
Пусть $f(x) = x^2 + ax + b \cos x$. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых уравнения $f(x) = 0$ и $f(f(x))=0$ имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Решение:
Пусть $x_0$ - общий корень, тогда $f(x0) = 0$ и $f(f(x0)) = 0$. Подставив первое равенство во второе, получаем $f(0) = 0$, т. е. $b = 0$. Итак, $f(x) = x^2 + ax$, и уравнение $f(x) = 0$ имеет корни 0 и $-а$. Далее,
$f(f(x)) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)=0 \\ f(x)= -a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x = -a \\ f(x) = -a) \end{cases}$.
Условие задачи выполнено, если каждый корень уравнения $f(x) = -а$ равен 0 или $-а$. Поэтому случаи $а \in (0,4), а = 0$ подходят, так как уравнение $f(x) = -а$ либо не имеет корней, либо имеет корень 0. При остальных значениях $а$ уравнение $f(x) = -а$ имеет хотя бы один корень, не совпадающий с 0 и $-а$.
Ответ. $b = 0, 0 \leq а \leq 4$.
Пусть $f(x) = x^2 + ax + b \cos x$. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых уравнения $f(x) = 0$ и $f(f(x))=0$ имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Решение:
Пусть $x_0$ - общий корень, тогда $f(x0) = 0$ и $f(f(x0)) = 0$. Подставив первое равенство во второе, получаем $f(0) = 0$, т. е. $b = 0$. Итак, $f(x) = x^2 + ax$, и уравнение $f(x) = 0$ имеет корни 0 и $-а$. Далее,
$f(f(x)) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)=0 \\ f(x)= -a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x = -a \\ f(x) = -a) \end{cases}$.
Условие задачи выполнено, если каждый корень уравнения $f(x) = -а$ равен 0 или $-а$. Поэтому случаи $а \in (0,4), а = 0$ подходят, так как уравнение $f(x) = -а$ либо не имеет корней, либо имеет корень 0. При остальных значениях $а$ уравнение $f(x) = -а$ имеет хотя бы один корень, не совпадающий с 0 и $-а$.
Ответ. $b = 0, 0 \leq а \leq 4$.
