Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1538
2019-01-19 
Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого - квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?
Решение:
Введем на листе прямоугольную систему координат с осями, параллельными линиям сетки, и началом координат в одном из узлов. Назовем четностью узла четность суммы его координат. Будем считать одну из ножек циркуля первой , а другую - второй и посмотрим, как меняется четность узлов, в которые попадает вторая ножка при выполнении шагов. Обозначим вектор, соединяющий первую ножку со второй после i-го шага, через $v_i = (x_i, y_i), i = 1, 2, \cdots$, тогда $x_{i}^{2} + y_{i}^{2} = d^2$ - квадрату раствора циркуля - целому числу. Рассмотрим три возможных случая.
а) Пусть $d^2$ - нечетно, тогда во всех парах ($x_i, y_i$) одно из чисел четно, другое нечетно, поэтому $x_i + y_i$ нечетно, и на i-м шаге четность основания передвигаемой ножки изменяется на $x_i + y_i - x_{i-1} - y_{i-1} = 2k_i$, т. е. сохраняется. Четность неподвижной ножки, очевидно, тоже сохраняется. Поскольку изначально четности ножек были различны (в силу нечетности числа $d \equiv x_o + y_o (mod 2)$, поменяться местами ножки не смогут.
б) Пусть $d^2 = 4c + 2$. Тогда все числа $x_i, y_i$ нечетны, и координаты оснований ножек изменяются на i-м шаге на $x_i - x_{i-1} = 2k_i$ или $y_i - y_{i-1} = 2l_i$, сохраняя свою четность. И снова, поскольку изначально четности разных ножек по каждой из координат были различны (в силу нечетности $x_0$ и $y_0$), ножки циркуля не смогут поменяться местами.
в) Пусть $d^2 = 4c$. В этом случае все числа $x_i, y_i$ четны. Рассмотрим вместо исходной новую сетку, у которой ячейки - квадраты со стороной в два раза больше, причем ножки циркуля исходно располагаются в ее узлах. Тогда шаги циркуля будут выполняться по узлам новой сетки, а для нее выполнен один из случаев а), б) или в). При этом квадрат длины в «новой» сетке уменьшился в 4 раза (из-за выбора новой единицы измерения), поэтому случай в) не может продолжаться до бесконечности.
Все доказано.
Замечание. Можно было бы ограничиться рассмотрением случаев нечетного и четного значения $d^2$, заметив, что во втором случае ножки циркуля бегают по узлам сетки, стороной клетки в которой является диагональ исходной сетки.
Ответ. Нельзя
Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого - квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?
Решение:
Введем на листе прямоугольную систему координат с осями, параллельными линиям сетки, и началом координат в одном из узлов. Назовем четностью узла четность суммы его координат. Будем считать одну из ножек циркуля первой , а другую - второй и посмотрим, как меняется четность узлов, в которые попадает вторая ножка при выполнении шагов. Обозначим вектор, соединяющий первую ножку со второй после i-го шага, через $v_i = (x_i, y_i), i = 1, 2, \cdots$, тогда $x_{i}^{2} + y_{i}^{2} = d^2$ - квадрату раствора циркуля - целому числу. Рассмотрим три возможных случая.
а) Пусть $d^2$ - нечетно, тогда во всех парах ($x_i, y_i$) одно из чисел четно, другое нечетно, поэтому $x_i + y_i$ нечетно, и на i-м шаге четность основания передвигаемой ножки изменяется на $x_i + y_i - x_{i-1} - y_{i-1} = 2k_i$, т. е. сохраняется. Четность неподвижной ножки, очевидно, тоже сохраняется. Поскольку изначально четности ножек были различны (в силу нечетности числа $d \equiv x_o + y_o (mod 2)$, поменяться местами ножки не смогут.
б) Пусть $d^2 = 4c + 2$. Тогда все числа $x_i, y_i$ нечетны, и координаты оснований ножек изменяются на i-м шаге на $x_i - x_{i-1} = 2k_i$ или $y_i - y_{i-1} = 2l_i$, сохраняя свою четность. И снова, поскольку изначально четности разных ножек по каждой из координат были различны (в силу нечетности $x_0$ и $y_0$), ножки циркуля не смогут поменяться местами.
в) Пусть $d^2 = 4c$. В этом случае все числа $x_i, y_i$ четны. Рассмотрим вместо исходной новую сетку, у которой ячейки - квадраты со стороной в два раза больше, причем ножки циркуля исходно располагаются в ее узлах. Тогда шаги циркуля будут выполняться по узлам новой сетки, а для нее выполнен один из случаев а), б) или в). При этом квадрат длины в «новой» сетке уменьшился в 4 раза (из-за выбора новой единицы измерения), поэтому случай в) не может продолжаться до бесконечности.
Все доказано.
Замечание. Можно было бы ограничиться рассмотрением случаев нечетного и четного значения $d^2$, заметив, что во втором случае ножки циркуля бегают по узлам сетки, стороной клетки в которой является диагональ исходной сетки.
Ответ. Нельзя
