Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1535
2019-01-19 
Корни двух приведенных квадратных трехчленов - отрицательные целые числа, причем один из этих корней - общий. Могут ли значения этих трехчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
Решение:
Пусть $x_1$ - общий корень рассматриваемых трехчленов, а $x_2$ и $x_3$ - два других (различных) корня. Тогда по теореме Виета один из трехчленов равен $(x - x_1)(x - x_2)$, а другой - $(x - x_1)(x - x_3)$.
Допустим, при каком-то целом положительном $n$ выполнены равенства $(n - x_1) (n - x_2) = 19$ и $(n - x_1)(n - x_3) = 98$. Тогда целое число $n - x_1$ должно быть общим делителем взаимно простых чисел 19 и 98 и, значит, должно равняться 1 или -1. Но в обоих случаях $x_1 \geq n - 1 \geq 0$, что противоречит условию задачи.
Ответ. Не могут.
Корни двух приведенных квадратных трехчленов - отрицательные целые числа, причем один из этих корней - общий. Могут ли значения этих трехчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
Решение:
Пусть $x_1$ - общий корень рассматриваемых трехчленов, а $x_2$ и $x_3$ - два других (различных) корня. Тогда по теореме Виета один из трехчленов равен $(x - x_1)(x - x_2)$, а другой - $(x - x_1)(x - x_3)$.
Допустим, при каком-то целом положительном $n$ выполнены равенства $(n - x_1) (n - x_2) = 19$ и $(n - x_1)(n - x_3) = 98$. Тогда целое число $n - x_1$ должно быть общим делителем взаимно простых чисел 19 и 98 и, значит, должно равняться 1 или -1. Но в обоих случаях $x_1 \geq n - 1 \geq 0$, что противоречит условию задачи.
Ответ. Не могут.
