Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1533
2019-01-19 
Назовем десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?
Решение:
Если все цифры десятизначного числа различны, то их сумма равна 45, и потому это число делится на 9. Значит, если оно делится на 11111, то оно делится и на 99999.
Рассмотрим десятизначное число $X = \overline{a_9\cdots a_0}$ и заметим, что $X = 10^5 \cdot \overline {a_9\cdots a_5}+ \overline {a_4\cdots a_0} = 99999 \cdot \overline {a_9\cdots a_5}+\overline {a_9\cdots a_5} + \overline{a_4\cdots a_0}$. Таким образом, число $X$ делится на 99999 тогда и только тогда, когда делится на 99999 сумма $ \overline {a_9\cdots a_5}+ \overline {a_4\cdots a_0}$. Заметим, что эта сумма меньше, чем $2 \cdot 99999$. Поэтому она делится на 99999 тогда и только тогда, когда она равна 99999. А это равносильно тому, что $a_0 + a_5 = 9, a_1 + a_6 = 9, a_2 + a_7 = 9, a_3 + a_8 = 9$ и $a_4 + a_9 = 9$. Таким образом, последние пять цифр интересного числа полностью определяются пятью его первыми цифрами, а первые пять цифр можно выбирать произвольно, следя только, чтобы никакие две из них не давали в сумме 9 и $a_9$ не равнялось нулю.
Учитывая сказанное, цифру $a_9$ можно выбрать девятью способами, цифру $a_8$, если $a_9$ уже выбрано, - восемью (нельзя выбирать $a_9$ и $9 - a_9$), после этого $a_7$ - шестью способами, $a_6$ - четырьмя и $a_5$ - двумя. Отсюда получаем $9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 3456$ возможностей.
Ответ. 3456.
Назовем десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?
Решение:
Если все цифры десятизначного числа различны, то их сумма равна 45, и потому это число делится на 9. Значит, если оно делится на 11111, то оно делится и на 99999.
Рассмотрим десятизначное число $X = \overline{a_9\cdots a_0}$ и заметим, что $X = 10^5 \cdot \overline {a_9\cdots a_5}+ \overline {a_4\cdots a_0} = 99999 \cdot \overline {a_9\cdots a_5}+\overline {a_9\cdots a_5} + \overline{a_4\cdots a_0}$. Таким образом, число $X$ делится на 99999 тогда и только тогда, когда делится на 99999 сумма $ \overline {a_9\cdots a_5}+ \overline {a_4\cdots a_0}$. Заметим, что эта сумма меньше, чем $2 \cdot 99999$. Поэтому она делится на 99999 тогда и только тогда, когда она равна 99999. А это равносильно тому, что $a_0 + a_5 = 9, a_1 + a_6 = 9, a_2 + a_7 = 9, a_3 + a_8 = 9$ и $a_4 + a_9 = 9$. Таким образом, последние пять цифр интересного числа полностью определяются пятью его первыми цифрами, а первые пять цифр можно выбирать произвольно, следя только, чтобы никакие две из них не давали в сумме 9 и $a_9$ не равнялось нулю.
Учитывая сказанное, цифру $a_9$ можно выбрать девятью способами, цифру $a_8$, если $a_9$ уже выбрано, - восемью (нельзя выбирать $a_9$ и $9 - a_9$), после этого $a_7$ - шестью способами, $a_6$ - четырьмя и $a_5$ - двумя. Отсюда получаем $9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 3456$ возможностей.
Ответ. 3456.
