Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1531
2019-01-19 
Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.
Решение:
В любом треугольнике $2r < h_b \leq a$, т. е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть $2r, a, b$ и $c$ образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$. Ясно, что $а = 2r + d, b = 2r + 2d, с = 2r + 3d$ и $p = \frac{a+b+c}{2} = 3r + 3d$. Поскольку в любом треугольнике $S = рr$ и $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ то $рr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ или $pr^2 = (p - а)(p - b)(p - с)$. Выразив в данном равенстве все величины через $r$ и $d$ получим
$(3r + 3d)r^2 = (r + 2d)(r + d)r$,
откуда $3r = r + 2d$, т. е. $r = d$, так как $r > 0, r + d > 0$. Следовательно, стороны равны $3r, 4r, 5r$.
Ответ. Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 («Египетский треугольник»).
Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.
Решение:
В любом треугольнике $2r < h_b \leq a$, т. е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть $2r, a, b$ и $c$ образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$. Ясно, что $а = 2r + d, b = 2r + 2d, с = 2r + 3d$ и $p = \frac{a+b+c}{2} = 3r + 3d$. Поскольку в любом треугольнике $S = рr$ и $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ то $рr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ или $pr^2 = (p - а)(p - b)(p - с)$. Выразив в данном равенстве все величины через $r$ и $d$ получим
$(3r + 3d)r^2 = (r + 2d)(r + d)r$,
откуда $3r = r + 2d$, т. е. $r = d$, так как $r > 0, r + d > 0$. Следовательно, стороны равны $3r, 4r, 5r$.
Ответ. Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 («Египетский треугольник»).
