Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1530
2019-01-19 
На выборах в городскую Думу каждый избиратель, если он приходит на выборы, отдает голос за себя (если он является кандидатом) и за тех кандидатов, которые являются его друзьями. Прогноз социологической службы мэрии считается хорошим, если в нем правильно предсказано количество голосов, поданных хотя бы за одного из кандидатов, и нехорошим в противном случае. Докажите, что при любом прогнозе избиратели могут так явиться на выборы, что этот прогноз окажется нехорошим.
Решение:
Прогноз, в котором нет нулей, окажется нехорошим, если все избиратели не явятся на выборы. Поэтому в каждом хорошем прогнозе должны быть нули. Пусть в прогнозе $П$ у кандидата $A$ и некоторых из его друзей $A_1,\cdots,A_k 0$ голосов. Тогда при явке $A$ на выборы прогноз по $A, A_1,\cdots,A_k$ уже ошибочен. Исключим $A, A_1,\cdots,A_k$ из списков кандидатов, и уменьшим на 1 прогноз по остальным друзьям $A$. Тогда мы вернемся к исходной задаче, но с меньшим числом кандидатов и меньшим на одного человека ($A$) числом избирателей. Продолжая эту процедуру, мы приходим к несовпадению по каждому кандидату числа поданных голосов с прогнозируемым. Значит, исходный прогноз - нехороший.
На выборах в городскую Думу каждый избиратель, если он приходит на выборы, отдает голос за себя (если он является кандидатом) и за тех кандидатов, которые являются его друзьями. Прогноз социологической службы мэрии считается хорошим, если в нем правильно предсказано количество голосов, поданных хотя бы за одного из кандидатов, и нехорошим в противном случае. Докажите, что при любом прогнозе избиратели могут так явиться на выборы, что этот прогноз окажется нехорошим.
Решение:
Прогноз, в котором нет нулей, окажется нехорошим, если все избиратели не явятся на выборы. Поэтому в каждом хорошем прогнозе должны быть нули. Пусть в прогнозе $П$ у кандидата $A$ и некоторых из его друзей $A_1,\cdots,A_k 0$ голосов. Тогда при явке $A$ на выборы прогноз по $A, A_1,\cdots,A_k$ уже ошибочен. Исключим $A, A_1,\cdots,A_k$ из списков кандидатов, и уменьшим на 1 прогноз по остальным друзьям $A$. Тогда мы вернемся к исходной задаче, но с меньшим числом кандидатов и меньшим на одного человека ($A$) числом избирателей. Продолжая эту процедуру, мы приходим к несовпадению по каждому кандидату числа поданных голосов с прогнозируемым. Значит, исходный прогноз - нехороший.
