Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 153
2014-06-07 
Верно ли, что для любых положительных чисел $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ и $a_{n+1} = a_{1}$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_{i}}{a_{i+1}} \right )^{n} \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i+1}}{a_{i}}$?
Решение:
Обозначим $a_{i}/a_{i+1} = b_{i} (i=1, \cdots , n)$ и положим $b_{n+1} = 1$. Тогда имеем | J Ь;=1 и, пользуясь $\prod_{i=1}^{n+1} b_{i} = 1$ теоремой о средних, получаем соотношения
$\sum_{n+1}^{i=1} \frac{1}{b_{i}} = \sum_{1}^{n+1} \prod_{i \neq j} b_{j} \leq \sum_{i=1}^{n+1} \left ( \frac{1}{n} \sum_{i \neq j}b^{n}_{j} \right ) = \sum_{i=1}^{n+1} b^{n}_{i}$,
из которых вытекает справедливость неравенства $\sum_{i=1}^{n} b^{n}_{i} \geq \sum_{i=1}^{n} (1/b_{i})$. Таким образом, на поставленный в задаче вопрос следует дать утвердительный ответ.
Верно ли, что для любых положительных чисел $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ и $a_{n+1} = a_{1}$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_{i}}{a_{i+1}} \right )^{n} \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i+1}}{a_{i}}$?
Решение:
Обозначим $a_{i}/a_{i+1} = b_{i} (i=1, \cdots , n)$ и положим $b_{n+1} = 1$. Тогда имеем | J Ь;=1 и, пользуясь $\prod_{i=1}^{n+1} b_{i} = 1$ теоремой о средних, получаем соотношения
$\sum_{n+1}^{i=1} \frac{1}{b_{i}} = \sum_{1}^{n+1} \prod_{i \neq j} b_{j} \leq \sum_{i=1}^{n+1} \left ( \frac{1}{n} \sum_{i \neq j}b^{n}_{j} \right ) = \sum_{i=1}^{n+1} b^{n}_{i}$,
из которых вытекает справедливость неравенства $\sum_{i=1}^{n} b^{n}_{i} \geq \sum_{i=1}^{n} (1/b_{i})$. Таким образом, на поставленный в задаче вопрос следует дать утвердительный ответ.
