Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1529
2019-01-19 
Пусть $O$ - центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC, S_A, S_B, S_C$ - окружности с центром $O$, касающиеся сторон $BC, CA, AB$ соответственно. Докажите, что сумма трех углов: между касательными к $SA$, проведенными из точки $A$, к $SB$ - из точки $B$ и к $S_C$ - из точки $C$, равна $180^{\circ}$.
Решение:
Пусть $B_1$ - точка касания окружностью $S_B$ стороны $AC, BB_2$ и $BB_3$ - касательные к $S_B$, проведенные из точки $B$ (рис.). Точка $O$ - центр описанной окружности $\triangle ABC$, поэтому $AO = BO$. Кроме того, $OB_1 = OB_2 = R_B, \angle OB_1A = \angle OB_2B = 90^{ \circ }$. Значит, $\triangle OB_1A = \triangle OB_2B$. Отсюда $\angle OBB_2 = \angle OAB_1$. Аналогично, $\angle OBB_3 = \angle OCB_1$. Так же доказывается, что угол между касательными к $S_A$ из точки $A$ равен сумме $\angle OBC + \angle OCB$, а к $S_C$ из точки $C$ - сумме $\angle OAB + \angle OBA$. Складывая эти равенства, получаем утверждение задачи.
Пусть $O$ - центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC, S_A, S_B, S_C$ - окружности с центром $O$, касающиеся сторон $BC, CA, AB$ соответственно. Докажите, что сумма трех углов: между касательными к $SA$, проведенными из точки $A$, к $SB$ - из точки $B$ и к $S_C$ - из точки $C$, равна $180^{\circ}$.
Решение:
Пусть $B_1$ - точка касания окружностью $S_B$ стороны $AC, BB_2$ и $BB_3$ - касательные к $S_B$, проведенные из точки $B$ (рис.). Точка $O$ - центр описанной окружности $\triangle ABC$, поэтому $AO = BO$. Кроме того, $OB_1 = OB_2 = R_B, \angle OB_1A = \angle OB_2B = 90^{ \circ }$. Значит, $\triangle OB_1A = \triangle OB_2B$. Отсюда $\angle OBB_2 = \angle OAB_1$. Аналогично, $\angle OBB_3 = \angle OCB_1$. Так же доказывается, что угол между касательными к $S_A$ из точки $A$ равен сумме $\angle OBC + \angle OCB$, а к $S_C$ из точки $C$ - сумме $\angle OAB + \angle OBA$. Складывая эти равенства, получаем утверждение задачи.
