Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1526
2019-01-19 
На плоскости дано множество из $n \geq 9$ точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все $n$ точек лежат на двух окружностях.
Решение:
Так как любые 9 точек лежат на двух окружностях, то найдется окружность O, на которой лежит не менее 5 точек. Рассмотрим все точки множества, не лежащие на O. Если таких точек четыре или меньше, то утверждение задачи верно. Действительно, дополнив их точками окружности O до девяти, получим, что они лежат на двух окружностях, на одной из которых лежат три дополняющих точки, поэтому это O. Значит, все наши точки лежат на другой окружности.
Пусть вне окружности O лежит не менее пяти точек. Возьмем пять точек $A_1, \cdots, A_5$ на $O$ и три точки $B_1, B_2, B_3$ вне $O$. Через точки $B_1, B_2, B_3$ проходит единственная окружность $O_1$. Возьмем точку $B$, отличную от точек $A_1, \cdots, A_5, B_1, B_2, B_3$. По условию существуют две окружности $O^{ \prime}$ и $O_1^{ \prime}$, содержащие все точки $A_1, A_2, \cdots, A_5, B_1, B_2, B_3, B$. Тогда опять одна из окружностей $O^{ \prime }$ и $O^{ \prime }_1$ совпадает с $O$. Поскольку точки $B_1, B_2, B_3$ не лежат на окружности $O$, все они оказываются на той из окружностей $O^{ \prime }$ или $O^{ \prime }_1$, которая не совпадает с $O$, и эта вторая окружность тем самым совпадает с $O_1$. Получается, что точка $B$ лежит либо на $O$, либо на $O_1$, что завершает доказательство.
На плоскости дано множество из $n \geq 9$ точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все $n$ точек лежат на двух окружностях.
Решение:
Так как любые 9 точек лежат на двух окружностях, то найдется окружность O, на которой лежит не менее 5 точек. Рассмотрим все точки множества, не лежащие на O. Если таких точек четыре или меньше, то утверждение задачи верно. Действительно, дополнив их точками окружности O до девяти, получим, что они лежат на двух окружностях, на одной из которых лежат три дополняющих точки, поэтому это O. Значит, все наши точки лежат на другой окружности.
Пусть вне окружности O лежит не менее пяти точек. Возьмем пять точек $A_1, \cdots, A_5$ на $O$ и три точки $B_1, B_2, B_3$ вне $O$. Через точки $B_1, B_2, B_3$ проходит единственная окружность $O_1$. Возьмем точку $B$, отличную от точек $A_1, \cdots, A_5, B_1, B_2, B_3$. По условию существуют две окружности $O^{ \prime}$ и $O_1^{ \prime}$, содержащие все точки $A_1, A_2, \cdots, A_5, B_1, B_2, B_3, B$. Тогда опять одна из окружностей $O^{ \prime }$ и $O^{ \prime }_1$ совпадает с $O$. Поскольку точки $B_1, B_2, B_3$ не лежат на окружности $O$, все они оказываются на той из окружностей $O^{ \prime }$ или $O^{ \prime }_1$, которая не совпадает с $O$, и эта вторая окружность тем самым совпадает с $O_1$. Получается, что точка $B$ лежит либо на $O$, либо на $O_1$, что завершает доказательство.
