ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-19   
В параллелограмме $ABCD$ точки $M$ и $N$ - середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Могут ли лучи $AM$ и $AN$ делить $ \angle BAD$ на три равные части?


Решение:



От противного. Предположим, что могут. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей параллелограмма (). В треугольнике $ABC ВО$ и $AM$ - медианы. $К$ - точка их пересечения, следовательно $ \frac {BK}{KO} = \frac {2}{1}$, откуда $KO = \frac {BK}{2}$. Аналогичные рассуждения для треугольника $ADC$ показывают, что $LO = \frac{DL}{2}$. Из того, что $ВО = OD$, следует, что $BK = LD,$ откуда $BK = KL = LD$. Значит, в треугольнике $BAL$ отрезок $AK$ является медианой и биссектрисой. Следовательно, он является и высотой, т. е. $AK \perp BD$. Аналогично, $AL \perp BD$. Но два различных перпендикуляра из одной точки $A$ на прямую $BD$ опустить нельзя.
Ответ. Не могут.