Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1523
2019-01-19 
Существуют ли $n$-значные числа $M$ и $N$ такие, что все цифры $M$ - четные, все цифры $N$ - нечетные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи $M$ или $N$ хотя бы один раз, и $M$ делится на $N$?
Решение:
Пусть $М = \overline {a_1\cdots a_n}$ и $N = \overline{b_1\cdots b_n}$ - числа, удовлетворяющие условию. Тогда $М = dN,$ где $d = 2, 4, 6$ или 8 (так как $М$ четно, а $N$ нечетно). Пусть $b_k = 9,$ и $S = \overline{b_к \cdots b_n}$. Тогда из неравенств
$180 \cdots0 < 2S < 199\cdots 9$,
$360 \cdots0 < 4S < 399 \cdots 9$,
$540 \cdots0 < 6S < 399\cdots 9$,
$720 \cdots0 < 8S < 799\cdots9$
следует, что в $(k - 1)$-й разряд переносится нечетная цифра $р$, значит, цифра $a_{k-1}$ - последняя цифра суммы $db_{k-1} + р$ - нечетна. Противоречие, поэтому таких $M$ и $N$ не существует.
Ответ. Не существуют.
Существуют ли $n$-значные числа $M$ и $N$ такие, что все цифры $M$ - четные, все цифры $N$ - нечетные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи $M$ или $N$ хотя бы один раз, и $M$ делится на $N$?
Решение:
Пусть $М = \overline {a_1\cdots a_n}$ и $N = \overline{b_1\cdots b_n}$ - числа, удовлетворяющие условию. Тогда $М = dN,$ где $d = 2, 4, 6$ или 8 (так как $М$ четно, а $N$ нечетно). Пусть $b_k = 9,$ и $S = \overline{b_к \cdots b_n}$. Тогда из неравенств
$180 \cdots0 < 2S < 199\cdots 9$,
$360 \cdots0 < 4S < 399 \cdots 9$,
$540 \cdots0 < 6S < 399\cdots 9$,
$720 \cdots0 < 8S < 799\cdots9$
следует, что в $(k - 1)$-й разряд переносится нечетная цифра $р$, значит, цифра $a_{k-1}$ - последняя цифра суммы $db_{k-1} + р$ - нечетна. Противоречие, поэтому таких $M$ и $N$ не существует.
Ответ. Не существуют.
