Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1520
2019-01-19 
Обозначим через $S(m)$ сумму цифр натурального числа $m$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что $S(3^n) \geq S(3^{n+1})$.
Решение:
Пусть таких чисел конечное число, тогда для всех $n$, начиная с некоторого $N, S(3^n) < S(3^{n+1})$. Но $3^, 3^{n+1}$ делятся на 9, поэтому $S(3^n)$ и $S(3^{n+1})$ делятся на 9, значит, $S(3^n) \leq S(3^{n+1}) - 9$. Тогда $S(3^{N + k}) \geq S(3^N) + 9k > 9k$, значит, число имеет более $к$ знаков: $3^{N+k} > 10^k$. Отсюда, при $k = N$ получаем $3^{2N} > 10^N$ - противоречие.
Обозначим через $S(m)$ сумму цифр натурального числа $m$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что $S(3^n) \geq S(3^{n+1})$.
Решение:
Пусть таких чисел конечное число, тогда для всех $n$, начиная с некоторого $N, S(3^n) < S(3^{n+1})$. Но $3^, 3^{n+1}$ делятся на 9, поэтому $S(3^n)$ и $S(3^{n+1})$ делятся на 9, значит, $S(3^n) \leq S(3^{n+1}) - 9$. Тогда $S(3^{N + k}) \geq S(3^N) + 9k > 9k$, значит, число имеет более $к$ знаков: $3^{N+k} > 10^k$. Отсюда, при $k = N$ получаем $3^{2N} > 10^N$ - противоречие.
