Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 152
2014-06-07 
Доказать, что для любых положительных чисел $a_{1}, \cdots , \alpha_{n} (n \geq 2)$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{s - a_{i}} \geq \frac{n}{n-1}$ где обозначено $s= \sum_{i=1}^{n}a_{i}$.
Решение:
Обозначим $b_{i} = s – a_{i} > 0 (i = 1, \cdots, n)$. Тогда, учитывая равенство $\sum_{i=1}^{n} b_{i} = (n-1) s$ и теорему о средних, получаем
$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{s-a_{i}} = \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_{i}}{b_{i}} + 1 \right ) – n = \sum_{i=1}^{n} \frac{s}{b_{i}} – n = s \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{b_{i}} – n \geq$
$\geq s \frac{n}{\sqrt[n]{b_{1} \cdots b_{n}}} – n \geq s \frac{n^{2}}{b_{1} + \cdots + b_{n}} – n = \frac{n^{2}}{n-1} – n = \frac{n}{n-1}$.
что и требовалось доказать.
Доказать, что для любых положительных чисел $a_{1}, \cdots , \alpha_{n} (n \geq 2)$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{s - a_{i}} \geq \frac{n}{n-1}$ где обозначено $s= \sum_{i=1}^{n}a_{i}$.
Решение:
Обозначим $b_{i} = s – a_{i} > 0 (i = 1, \cdots, n)$. Тогда, учитывая равенство $\sum_{i=1}^{n} b_{i} = (n-1) s$ и теорему о средних, получаем
$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{s-a_{i}} = \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_{i}}{b_{i}} + 1 \right ) – n = \sum_{i=1}^{n} \frac{s}{b_{i}} – n = s \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{b_{i}} – n \geq$
$\geq s \frac{n}{\sqrt[n]{b_{1} \cdots b_{n}}} – n \geq s \frac{n^{2}}{b_{1} + \cdots + b_{n}} – n = \frac{n^{2}}{n-1} – n = \frac{n}{n-1}$.
что и требовалось доказать.
