Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1519
2019-01-19 
Все вершины треугольника $ABC$ лежат внутри квадрата $K$. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника $ABC$, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри $K$.
Решение:
Пусть $M(x_0, у_0)$ - точка пересечения медиан. Прямая $x = x_0$ делит квадрат на две части. В одной из частей находится ровно одна вершина треугольника. Пусть ее координаты $A(x_1, у_1)$, а координаты двух других $B(x_2,y_2), C(x_3,у_3)$. Тогда $\vec{AM} = \vec{MB}+ \vec{MC}$ и, значит, $|x_0 - x_1| = |x_0 - x_2| + |x_0 - x_3|$. Поэтому после отражения относительно точки $M$ точки $B$ и $C$ перейдут в полосу, ограниченную прямыми $x = x_0$ и $x = x_1$. Проведя аналогичные рассуждения для $у$, получим, что какие-то две точки перешли в полосу, ограниченную прямыми $у = у_0$ и $у = у^*$ (где $у^*$ - ордината одной из вершин треугольника). Одна из этих точек будет $B$ или $C$, после отражения относительно $M$ она, как мы доказали, останется внутри квадрата.
Все вершины треугольника $ABC$ лежат внутри квадрата $K$. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника $ABC$, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри $K$.
Решение:
Пусть $M(x_0, у_0)$ - точка пересечения медиан. Прямая $x = x_0$ делит квадрат на две части. В одной из частей находится ровно одна вершина треугольника. Пусть ее координаты $A(x_1, у_1)$, а координаты двух других $B(x_2,y_2), C(x_3,у_3)$. Тогда $\vec{AM} = \vec{MB}+ \vec{MC}$ и, значит, $|x_0 - x_1| = |x_0 - x_2| + |x_0 - x_3|$. Поэтому после отражения относительно точки $M$ точки $B$ и $C$ перейдут в полосу, ограниченную прямыми $x = x_0$ и $x = x_1$. Проведя аналогичные рассуждения для $у$, получим, что какие-то две точки перешли в полосу, ограниченную прямыми $у = у_0$ и $у = у^*$ (где $у^*$ - ордината одной из вершин треугольника). Одна из этих точек будет $B$ или $C$, после отражения относительно $M$ она, как мы доказали, останется внутри квадрата.
