Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1518
2019-01-19 
Докажите, что если $\sqrt {x+a}+\sqrt {y+b} + \sqrt { z +c}+\sqrt {y+a} + \sqrt { z +b} + \sqrt {x+c}=\sqrt { z +a}+\sqrt {x+b}+\sqrt {y+c}$ для некоторых $a, b, c, x, y, z $, то $x = y = z $ или $a = b = c$.
Решение:
Без ограничения общности можем считать, что $a \geq b \geq с$. Пусть не все числа $x, y, z$ равны. Тогда среди них есть либо строго наибольшее, либо строго наименьшее - скажем, $x$. Заметим, что если $b > а$, то функция $ \varphi (t) = \sqrt {t+b} - \sqrt {t+a}= \frac {b-a}{ \sqrt {t+b}+ \sqrt {t+a}}$ - монотонно убывает.
Перепишем первое из данных в условии равенств так:
$( \sqrt {x+a}- \sqrt {x+b})+ ( \sqrt {x+b}- \sqrt {x+c})= ( \sqrt {y+a}- \sqrt {y+b})+( \sqrt {z+b}- \sqrt {z+c})$.
Если $x$ - строго наибольшее, то каждая скобка слева не больше соответствующей скобки справа, причем равенства одновременно достигаются только при a = b = c. Аналогично, если x - строго наименьшее, то оба неравенства меняют знак, причем оба становятся равенствами опять же только при $a = b = c$.
Замечание. Заметим, что мы доказали требуемое, воспользовавшись только одним из данных равенств. Правда, то, каким равенством из данных мы пользуемся, зависит от соотношения между переменными.
Докажите, что если $\sqrt {x+a}+\sqrt {y+b} + \sqrt { z +c}+\sqrt {y+a} + \sqrt { z +b} + \sqrt {x+c}=\sqrt { z +a}+\sqrt {x+b}+\sqrt {y+c}$ для некоторых $a, b, c, x, y, z $, то $x = y = z $ или $a = b = c$.
Решение:
Без ограничения общности можем считать, что $a \geq b \geq с$. Пусть не все числа $x, y, z$ равны. Тогда среди них есть либо строго наибольшее, либо строго наименьшее - скажем, $x$. Заметим, что если $b > а$, то функция $ \varphi (t) = \sqrt {t+b} - \sqrt {t+a}= \frac {b-a}{ \sqrt {t+b}+ \sqrt {t+a}}$ - монотонно убывает.
Перепишем первое из данных в условии равенств так:
$( \sqrt {x+a}- \sqrt {x+b})+ ( \sqrt {x+b}- \sqrt {x+c})= ( \sqrt {y+a}- \sqrt {y+b})+( \sqrt {z+b}- \sqrt {z+c})$.
Если $x$ - строго наибольшее, то каждая скобка слева не больше соответствующей скобки справа, причем равенства одновременно достигаются только при a = b = c. Аналогично, если x - строго наименьшее, то оба неравенства меняют знак, причем оба становятся равенствами опять же только при $a = b = c$.
Замечание. Заметим, что мы доказали требуемое, воспользовавшись только одним из данных равенств. Правда, то, каким равенством из данных мы пользуемся, зависит от соотношения между переменными.
