Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1517
2019-01-19 
Точки $O_1$ и $O_2$ - центры соответственно описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника $ABC (AB = BC)$. Окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $O_1O_2A$, пересекаются в точках $A$ и $D$. Докажите, что прямая $BD$ касается окружности, описанной около треугольника $O_1O_2A$.
Решение:
Возможны два случая расположения точек $O_1$ и $O_2: O_1$ между $O_2$ и $B$ (рис.) и $O_2$ между $O_1$ и $B$. Предлагаемое решение не зависит от этих случаев.
Поскольку четырехугольник $O_1O_2AD$ или $(O_2O_1AD)$ - вписанный, $\angle BO_1D = \angle O_2AD$. (1)
Но $\angle O_2AD = \angle O_2AB + \angle BAD = \frac {1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} BO_1D$, откуда с учетом (1) получаем: $\angle BO_1D = \angle CAB$. Так как треугольник $BO_1D$ - равнобедренный, то $\angle O_1DB = \frac{\pi - \angle BO_1D}{2} = \frac{\pi - \angle CAB}{2} = \frac {1}{2} (\angle CBA + \angle BCA)$. С другой стороны $\angle O_1AD = \angle O_1AB + \angle BAD = \angle O_1BA + \frac {1}{2} \angle BO_1D = \frac {1}{2} (\angle CBA + \angle CAB)$. Итак, $\angle O_1DB = \angle 0_1AD$, откуда и следует требуемое.
Точки $O_1$ и $O_2$ - центры соответственно описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника $ABC (AB = BC)$. Окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $O_1O_2A$, пересекаются в точках $A$ и $D$. Докажите, что прямая $BD$ касается окружности, описанной около треугольника $O_1O_2A$.
Решение:
Возможны два случая расположения точек $O_1$ и $O_2: O_1$ между $O_2$ и $B$ (рис.) и $O_2$ между $O_1$ и $B$. Предлагаемое решение не зависит от этих случаев.
Поскольку четырехугольник $O_1O_2AD$ или $(O_2O_1AD)$ - вписанный, $\angle BO_1D = \angle O_2AD$. (1)
Но $\angle O_2AD = \angle O_2AB + \angle BAD = \frac {1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} BO_1D$, откуда с учетом (1) получаем: $\angle BO_1D = \angle CAB$. Так как треугольник $BO_1D$ - равнобедренный, то $\angle O_1DB = \frac{\pi - \angle BO_1D}{2} = \frac{\pi - \angle CAB}{2} = \frac {1}{2} (\angle CBA + \angle BCA)$. С другой стороны $\angle O_1AD = \angle O_1AB + \angle BAD = \angle O_1BA + \frac {1}{2} \angle BO_1D = \frac {1}{2} (\angle CBA + \angle CAB)$. Итак, $\angle O_1DB = \angle 0_1AD$, откуда и следует требуемое.
