Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1513
2019-01-19 
Окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$. Докажите, что если вершины $A$ и $C$ некоторого прямоугольника $ABCD$ лежат на окружности $S_1$, а вершины $B$ и $D$ - на окружности $S_2$, то точка пересечения его диагоналей лежит на прямой $MN$.
Решение:
Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. Проведем через $M$ и $O$ прямую до следующего пересечения с $S_1$ и $S_2$ в точках $N_1$ и $N_2$ соответственно. Так как точка $O$ лежит внутри обеих окружностей, то $N_1$ и $N_2$ лежат по одну сторону от $O$. При этом $MO \cdot ON_1 = AO \cdot OC = BO \cdot OD = MO \cdot ON_2$, так как $AO = OC = OB = OD$, а значит $ON_1 = ON_2, и N_1 = N_2 = N$.
Замечание. Наоборот, проведя через любую точку $O$ на интервале $MN$ хорды $AC$ и $BD$ в окружностях $S_1$ и $S_2$ так, что $AO = OC, BO = OD$, получим из теоремы о хордах $AO^2 = MO \cdot ON = BO^2 \Rightarrow AO = OC = BO = OD \Rightarrow ABCD$ - прямоугольник.
Окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$. Докажите, что если вершины $A$ и $C$ некоторого прямоугольника $ABCD$ лежат на окружности $S_1$, а вершины $B$ и $D$ - на окружности $S_2$, то точка пересечения его диагоналей лежит на прямой $MN$.
Решение:
Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. Проведем через $M$ и $O$ прямую до следующего пересечения с $S_1$ и $S_2$ в точках $N_1$ и $N_2$ соответственно. Так как точка $O$ лежит внутри обеих окружностей, то $N_1$ и $N_2$ лежат по одну сторону от $O$. При этом $MO \cdot ON_1 = AO \cdot OC = BO \cdot OD = MO \cdot ON_2$, так как $AO = OC = OB = OD$, а значит $ON_1 = ON_2, и N_1 = N_2 = N$.
Замечание. Наоборот, проведя через любую точку $O$ на интервале $MN$ хорды $AC$ и $BD$ в окружностях $S_1$ и $S_2$ так, что $AO = OC, BO = OD$, получим из теоремы о хордах $AO^2 = MO \cdot ON = BO^2 \Rightarrow AO = OC = BO = OD \Rightarrow ABCD$ - прямоугольник.
