Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1512
2019-01-19 
Дан треугольник $ABC$. Точка $B_1$ делит пополам длину ломаной $ABC$ (составленной из отрезков $AB$ и $BC$), точка $C_1$ делит пополам длину ломаной $ACB$, точка $A_1$ делит пополам длину ломаной $CAB$. Через точки $A_1, B_1$ и $C_1$ проводятся прямые $L_A, L_B , L_C$, параллельные биссектрисам углов $BAC, ABC$ и $ACB$ соответственно. Докажите, что прямые $L_A, L_B , L_C$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть, для определенности, $AB \geq AC$. Отложим на продолжении стороны $AB$ отрезок $AC^{ \prime } = AC$ (рис.). Тогда в равнобедренном треугольнике $ACC^{ \prime} \angle ACC^{ \prime} = \angle CAB / 2$, т. е. $CC^{ \prime}$ параллельна биссектрисе $\angle CAB$. Заметим, что $A_1$ - середина $BC^{ \prime}$, поэтому прямая $l_A$ является средней линией в $ \triangle BCC^{ \prime}$ и проходит через середину $A_2$ стороны $BC$. Аналогично получаем, что прямые $l_B$ и $l_C$ соответственно проходят через середины $B_2$ и $C_2$ сторон $AC$ и $AB$ и параллельны биссектрисам углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $l_A, l_B$ и $l_C$ являются биссектрисами в треугольнике $A_2B_2C_2$, составленном из средних линий $\triangle ABC$, т. е. пересекаются в одной точке.
Дан треугольник $ABC$. Точка $B_1$ делит пополам длину ломаной $ABC$ (составленной из отрезков $AB$ и $BC$), точка $C_1$ делит пополам длину ломаной $ACB$, точка $A_1$ делит пополам длину ломаной $CAB$. Через точки $A_1, B_1$ и $C_1$ проводятся прямые $L_A, L_B , L_C$, параллельные биссектрисам углов $BAC, ABC$ и $ACB$ соответственно. Докажите, что прямые $L_A, L_B , L_C$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть, для определенности, $AB \geq AC$. Отложим на продолжении стороны $AB$ отрезок $AC^{ \prime } = AC$ (рис.). Тогда в равнобедренном треугольнике $ACC^{ \prime} \angle ACC^{ \prime} = \angle CAB / 2$, т. е. $CC^{ \prime}$ параллельна биссектрисе $\angle CAB$. Заметим, что $A_1$ - середина $BC^{ \prime}$, поэтому прямая $l_A$ является средней линией в $ \triangle BCC^{ \prime}$ и проходит через середину $A_2$ стороны $BC$. Аналогично получаем, что прямые $l_B$ и $l_C$ соответственно проходят через середины $B_2$ и $C_2$ сторон $AC$ и $AB$ и параллельны биссектрисам углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $l_A, l_B$ и $l_C$ являются биссектрисами в треугольнике $A_2B_2C_2$, составленном из средних линий $\triangle ABC$, т. е. пересекаются в одной точке.
