Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1511
2019-01-19 
Дан набор, состоящий из 1997 чисел таких, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор. Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.
Решение:
Пусть сумма чисел в наборе равна $M$, тогда число $a$ из набора заменяется на число $b = M - a$. Просуммируем эти равенства для всех $a: b_1 + \cdots + b_{1997} = 1997M - (a_1 + \cdots + a_{1997})$, откуда $M = 0$, так как $b_1 +\cdots \cdots + b_{1997} = a_1 + \cdots + a_{1997} = M$. Значит, для любого $a$ число $b = -a$ также входит в набор и все числа разбиваются на пары $(a, -a)$. Из нечетности их количества следует, что в набор входит число $a = -a$, т.е. $a = 0$.
Дан набор, состоящий из 1997 чисел таких, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор. Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.
Решение:
Пусть сумма чисел в наборе равна $M$, тогда число $a$ из набора заменяется на число $b = M - a$. Просуммируем эти равенства для всех $a: b_1 + \cdots + b_{1997} = 1997M - (a_1 + \cdots + a_{1997})$, откуда $M = 0$, так как $b_1 +\cdots \cdots + b_{1997} = a_1 + \cdots + a_{1997} = M$. Значит, для любого $a$ число $b = -a$ также входит в набор и все числа разбиваются на пары $(a, -a)$. Из нечетности их количества следует, что в набор входит число $a = -a$, т.е. $a = 0$.
