Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1510
2019-01-19 
Назовем «сочетанием цифр» несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещенными. Известно, что запрещенных сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний.
Решение:
Запрещенных «сочетаний цифр» конечное число, следовательно есть число $N$ такое, что все запрещенные «сочетания цифр» не длиннее $N$ символов. В бесконечной десятичной дроби можно найти два одинаковых куска длины $N$. Пусть у разрешенной дроби $a_0,a_1,a_2\cdots$, куски $a_k \cdots a_{k+N-1}$ и $a_l \cdots a_{l+N-1}$ совпали. Докажем, что дробь $0,(a_k \cdots a_{l-1})$ удовлетворяет условию. Предположим противное: в этой дроби есть запрещенные «сочетания цифр». Возьмем то, которое встретится самым первым. Очевидно, что хотя бы один символ из данного запрещенного сочетания цифр попадет в первый период. но тогда конец этого «сочетания цифр» и имеет номер не более $1 - 1 - k + N$, т. е. оно будет содержаться в куске $a_k \cdots a_{l+N-1}$ исходной дроби. Противоречие.
Назовем «сочетанием цифр» несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещенными. Известно, что запрещенных сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний.
Решение:
Запрещенных «сочетаний цифр» конечное число, следовательно есть число $N$ такое, что все запрещенные «сочетания цифр» не длиннее $N$ символов. В бесконечной десятичной дроби можно найти два одинаковых куска длины $N$. Пусть у разрешенной дроби $a_0,a_1,a_2\cdots$, куски $a_k \cdots a_{k+N-1}$ и $a_l \cdots a_{l+N-1}$ совпали. Докажем, что дробь $0,(a_k \cdots a_{l-1})$ удовлетворяет условию. Предположим противное: в этой дроби есть запрещенные «сочетания цифр». Возьмем то, которое встретится самым первым. Очевидно, что хотя бы один символ из данного запрещенного сочетания цифр попадет в первый период. но тогда конец этого «сочетания цифр» и имеет номер не более $1 - 1 - k + N$, т. е. оно будет содержаться в куске $a_k \cdots a_{l+N-1}$ исходной дроби. Противоречие.
